Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2﹣2x+3與軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求直線AC的解析式，并直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）如圖1，在直線AC的上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過P點(diǎn)作PQ垂直于x軸交AC于點(diǎn)Q，PM∥BD交AC于點(diǎn)M．

①求△PQM周長(zhǎng)最大值；

②當(dāng)△PQM周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，PQ與x軸交點(diǎn)為H，首位順次連接P、H、O、D構(gòu)成四邊形，它的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，若線段OH在x軸上移動(dòng)，求L最小值時(shí)OH移動(dòng)的距離及L的最小值．

（3）如圖2，連接BD與y軸于點(diǎn)F，將△BOF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的三角形為△BOF′，B′F′所在直線與直線AC、直線OC分別交于點(diǎn)G、K，當(dāng)△CGK為直角三角形時(shí)，直接寫出線段BG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)、y=x+3；（﹣1，4）；(2)、△PMQ的周長(zhǎng)最大值為；L的最小值為；(3)、或4

【解析】

試題分析：(1)、首先求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法以及配方法即可解決問題．(2)、①如圖1中，作DN∥y軸J交AC于N，直線BD交AC于K．先求出△DKN的三邊，再求出PQ的最大值，利用相似三角形的性質(zhì)求出PM、MQ即可解決問題．②如圖2中，作PE∥x軸交y軸與E，作E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)K，連接DK與x軸交于點(diǎn)O′，將OH平移到O′H處，此時(shí)四邊形PHO′D的周長(zhǎng)最�。�分別求出PD，DK，OO′即可解決問題．(3)、分兩種情形①如圖3中，當(dāng)∠CGK=90°時(shí)，作OE⊥GK于E，想辦法求出點(diǎn)G坐標(biāo)即可．②如圖4中，當(dāng)∠CKG=90°時(shí)，求出點(diǎn)G坐標(biāo)即可解決問題．

試題解析：(1)、對(duì)于拋物線y=﹣x2﹣2x+3，令x=0得y=3，∴點(diǎn)C（0，3）， 令y=0得﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， 設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得到， 解得， ∴直線AC的解析式為y=x+3．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，4）．

(2)、①如圖1中，作DN∥y軸J交AC于N，直線BD交AC于K．

∵直線AC的解析式為y=x+3，直線BD的解析式為y=y=﹣2x+2， 由解得，

∴點(diǎn)K坐標(biāo)（﹣，），N（﹣1，2）， ∴DN=2，DK==，KN==， 在△PMQ中，∵∠PMQ=∠DKN=定值，

∴當(dāng)△PMQ周長(zhǎng)的最大值時(shí)，PQ定值最大，設(shè)P（m，﹣m2﹣2m+3）則Q（m，m+3），

∴PQ=﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3=﹣m2﹣3m=﹣（m+）2+． ∵a=﹣1＜0， ∴m=﹣時(shí)，PQ的最大值為，

由△PMQ∽△DKN，得==， ∴==， ∴PM=，MQ=，

∴△PMQ的周長(zhǎng)最大值為++． ②如圖2中，作PE∥x軸交y軸與E，作E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)K，連接DK與x軸交于點(diǎn)O′，將OH平移到O′H處，此時(shí)四邊形PHO′D的周長(zhǎng)最�。�

∵P（﹣，），D（﹣1，4），K（0，﹣）， ∴O′坐標(biāo)為（﹣，0），PD==，DK==，O′H=，

∴OH向左平移個(gè)單位，L的最小值=PD+DK+O′H=++．

()、①如圖3中，當(dāng)∠CGK=90°時(shí)，作OE⊥GK于E，

∵OA=OC，∠AOC=90°， ∴∠GCK=∠GKC=∠OKE=∠KOE=45°， ∵OE===，

∴OK=，KC=3﹣， ∴G（﹣， +），

∴GB==．

②如圖4中，當(dāng)∠CKG=90°時(shí)，點(diǎn)G（﹣3，），

∴BG==4．