Question

如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“奇特數(shù)”．例如：8=3²-1²，16=5²-3²，24=7²-5²；則8、16、24這三個數(shù)都是奇特數(shù)．
（1）32和2012這兩個數(shù)是奇特數(shù)嗎？若是，表示成兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差形式．
（2）設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)是2n-1和2n+1（其中n取正整數(shù)），由這兩個連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的奇特數(shù)是8的倍數(shù)嗎？為什么？
（3）如圖所示，拼疊的正方形邊長是從1開始的連續(xù)奇數(shù)…，按此規(guī)律拼疊到正方形ABCD，其邊長為2013，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)32=9²-7²，以及8、16、24這三個數(shù)都是奇特數(shù)，他們都是8的倍數(shù)，進行判斷．
（2）利用平方差公式計算（2n+1）²-（2n-1）²=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=4n•2=8n，得到兩個連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的奇特數(shù)是8的倍數(shù)；
（3）利用陰影部分面積為：=2013²-2011²+2009^2-2007²+…+3²-1²，進而求出即可．

解答：解：（1）32這個數(shù)是奇特數(shù)．因為32=9²-7²，
∵8、16、24這三個數(shù)都是奇特數(shù)，他們都是8的倍數(shù)，2012不是8的倍數(shù)，
∴2012這個數(shù)不是奇特數(shù)．

（2）兩個連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的奇特數(shù)是8的倍數(shù)．理由如下：
（2n+1）²-（2n-1）²=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=4n×2=8n．

（3）陰影部分面積為：
2013²-2011²+2009^2-2007²+…+3²-1²
=（2013+2011）×（2013-2011）+（2009+2007）×（2009-2007）+…+（3+1）×（3-1）
=2×（2013+2011+2009+2007+…+3+1）
=2×1014049
=2028098．

點評：本題考查了圖形的變化類以及新概念和平方差公式：a²-b²=（a-b）（a-b），利用圖形正確表示出陰影部分是解題關(guān)鍵．