Question

【題目】如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B．若N點(diǎn)是AC所在直線下方該拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)N作MN平行于軸，交AC于點(diǎn)M．

(1) 求直線AC的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動至拋物線的頂點(diǎn)時，求此時MN的長；

（3）設(shè)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為t，MN的長度為l；

①求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；

②l是否存在最值，有如有寫出最值；

（4）點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于軸的對稱點(diǎn)．拋物線上是否有點(diǎn)N，使△ODM是等腰三角形？

若存在，請求出此時△CAN的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x-4；（2）當(dāng)t=2時，l有最大值2，此時N（2，2）；（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣2），（1，-3），=4或3.

【解析】試題分析：（1）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，過A（4，0）、C（0，-4）兩點(diǎn)，即可求得k、b的值，從而求得直線AC的解析式；（2）求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及當(dāng)x=1時點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可求得MN的長；（3）①設(shè)，根據(jù)MN=（t-4）-（），化簡即可求得l與t之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍即可；②存在，分DO=DM、MO=MD和MO=OD(這種情況不存在)三種情況討論求解即可，第三種情況不存在，可以不寫.

試題解析：

（1）∵拋物線的解析式為：

∴A（4，0）C（0，-4）

∵過A，C兩點(diǎn)

∴

（2）∵拋物線的解析式為：頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1， ）

直線AC的解析式y(tǒng)=x-4,當(dāng)x=1時，M（1，-3）

∴MN=

（3）①∵

∴ （ 4≤t≤0）

，

∴當(dāng)t=2時，l有最大值2，此時N（2，2）

（3）存在．

∵點(diǎn)B（-2，0），

∴點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，∴點(diǎn)D（2，0））

在△ODM中，

（�。┤鬌O=DM，

∵A（4，0），D（2，0），∴AD=OD=DM=2。

又在Rt△AOC中，OA=OC=4，

∴∠OAC=45°�！唷螪MA=∠OAC=45°。

∴∠ADM=90°。此時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣2）。

（ⅱ）若MO=MD，過點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H。

由等腰三角形的性質(zhì)得：OH=OD=1，∴AH=3，

∴在等腰直角△AHM中，HM=AH=3，

∴M（1，-3）

綜上所述，使得△ODM是等腰三角形，所求點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（2，﹣2），（1，-3）, △CAN的面積為4或3.