Question

（2012•婁底）已知二次函數y=x²-（m²-2）x-2m的圖象與x軸交于點A（x₁，0）和點B（x₂，0），x₁＜x₂，與y軸交于點C，且滿足

1

x1

+

1

x2

=

1

2

．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）探究：在直線y=x+3上是否存在一點P，使四邊形PACB為平行四邊形？如果有，求出點P的坐標；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲求拋物線的解析式，關鍵是求得m的值．根據題中所給關系式，利用一元二次方程根與系數的關系，可以求得m的值，從而問題得到解決．注意：解答中求得兩個m的值，需要進行檢驗，把不符合題意的m值舍去；
（2）利用平行四邊形的性質構造全等三角形，根據全等關系求得P點的縱坐標，進而得到P點的橫坐標，從而求得P點坐標．

解答：解：（1）∵二次函數y=x²-（m²-2）x-2m的圖象與x軸交于點A（x₁，0）和點B（x₂，0），x₁＜x₂，
令y=0，即x²-（m²-2）x-2m=0 ①，則有：
x₁+x₂=m²-2，x₁x₂=-2m．
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

m2-2

-2m

=

1

2

，
化簡得到：m²+m-2=0，解得m₁=-2，m₂=1．
當m=-2時，方程①為：x²-2x+4=0，其判別式△=b²-4ac=-12＜0，此時拋物線與x軸沒有交點，不符合題意，舍去；
當m=1時，方程①為：x²+x-2=0，其判別式△=b²-4ac=9＞0，此時拋物線與x軸有兩個不同的交點，符合題意．
∴m=1，
∴拋物線的解析式為y=x²+x-2．

（2）假設在直線y=x+3上存在一點P，使四邊形PACB為平行四邊形．
如圖所示，連接PA、PB、AC、BC，過點P作PD⊥x軸于D點．
∵拋物線y=x²+x-2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，
∴A（-2，0），B（1，0），C（0，-2），∴OB=1，OC=2．
∵PACB為平行四邊形，∴PA∥BC，PA=BC，
∴∠PAD=∠CBO，∴∠APD=∠OCB．
在Rt△PAD與Rt△CBO中，
∵

∠PAD=∠CBO PA=BC ∠APD=∠OCB

，
∴Rt△PAD≌Rt△CBO，
∴PD=OC=2，即y_P=2，
∴直線解析式為y=x+3，
∴x_P=-1，
∴P（-1，2）．
所以在直線y=x+3上存在一點P，使四邊形PACB為平行四邊形，P點坐標為（-1，2）．

點評：本題是代數幾何綜合題，考查了二次函數的圖象與性質、拋物線與x軸的交點、一元二次方程根的解法及根與系數關系、一次函數、平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質等方面的知識，涉及的考點較多，有一定的難度．