Question

如圖△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分別是邊AB、AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D不與A、B重合），且保持DE∥BC，以ED為邊，在點(diǎn)A的異側(cè)作正方形DEFG．
 
（1）試求△ABC的面積；
（2）當(dāng)邊FG與BC重合時(shí)，求正方形DEFG的邊長(zhǎng)；
（3）設(shè)AD=x，當(dāng)△BDG是等腰三角形時(shí)，求出AD的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）12；（2）；（3）AD=或或．

試題分析：（1）過A作AH⊥BC于H，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BH的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可求得AH的長(zhǎng)，最后根據(jù)三角形的面積公式求解即可；
（2）設(shè)此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為a，由DE∥BC可得，即可求得結(jié)果；
（3）先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)表示出DE的長(zhǎng)，再分當(dāng)BD=DG時(shí)，當(dāng)BD=BG時(shí)，當(dāng)BG=DG時(shí)，三種情況根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.
（1）過A作AH⊥BC于H，

∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=BC=3，
∵AH²=AB²－BH²
∴AH=4
∴S_△ABC=BC•AH=×6×4=12；
（2）設(shè)此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為a，
∵DE∥BC，
∴，解得a=；
（3）當(dāng)AD=x時(shí)，由△ADE∽△ABC得
即，解得DE=，
當(dāng)BD=DG時(shí)，5-x=，解得x=，
當(dāng)BD=BG時(shí)，，解得x=，
當(dāng)BG=DG時(shí)，，解得x=，
∴當(dāng)△BDG是等腰三角形時(shí)，AD=或或．
點(diǎn)評(píng)：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．