Question

（2008•哈爾濱）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，將△ABO繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′O，并使OA′⊥AB，垂足為D，直線AB與線段A´B´相交于點(diǎn)G．動點(diǎn)E從原點(diǎn)O出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿x軸正方向運(yùn)動，設(shè)動點(diǎn)E運(yùn)動的時(shí)間為t秒．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）連接DE，當(dāng)DE與線段OB′相交，交點(diǎn)為F，且四邊形DFB′G是平行四邊形時(shí)，（如圖2）求此時(shí)線段DE所在的直線的解析式；
（3）若以動點(diǎn)為E圓心，以為半徑作⊙E，連接A′E，t為何值時(shí)，Tan∠EA′B′=？并判斷此時(shí)直線A′O與⊙E的位置關(guān)系，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：現(xiàn)根據(jù)直線y=與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而再求出OD的長度；然后根據(jù)需要作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，再結(jié)合題意對題目進(jìn)行分析．
解答：解：（1）由題意知A（，0）B（0，），
∴OA=，OB=，
∴AB==5，
∵OD⊥AB，
∴OA•OB=AB•OD，
∴OD==2．
過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H．（如圖1）
∵∠BAO+∠ADH=∠ODH+∠ADH=90°，
∴∠ODH=∠BAO，
∴tan∠ODH=tan∠BAO=，
∴DH=2OH．
設(shè)OH=a，則DH=2a．
∴a²+4a²=4，
∴a=．
∴OH=，DH=．
∴D（-，）；

（2）設(shè)DE與y軸交于點(diǎn)M．（如圖2）
∵四邊形DFB′G是平行四邊形，
∴DF∥B′G，
∴∠1=∠A′．
又∵∠AOD+∠2=∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BAO=∠2．
∵∠BAO=∠A′，
∴∠1=∠2，
∴DM=OM．（1分）
∵∠3+∠1=90°，∠4+∠2=90°，
∴∠3=∠4，
∴BM=DM，
∴BM=OM，
∴點(diǎn)M是OB中點(diǎn)，
∴M（0，）．
設(shè)線段DE所在直線解析式為y=kx+b．
把M（0，）D（，）代入y=kx+b，
得，解得．
∴線段DE所在直線的解析式為；

（3）設(shè)直線A′B′交x軸于點(diǎn)N，（如圖3）過點(diǎn)A′作A′K⊥x軸于點(diǎn)K．
∵∠AOD=∠A′OK，∠ADO=∠A′KO=90°，OA=OA′=，
∴△AOD≌△A′OK，
∴OK=2，
∴A′K=4，
∴A′（-2，4）．
過點(diǎn)B′作B′T⊥y軸于點(diǎn)T，同理△OBD≌△B′OT，
∴B′（2，1）．
設(shè)直線A’B’的解析式為y=k₁x+b₁．
則，解得．
∴直線A′B′的解析式為．
∴N（，0），
∴KN=，
∴A’N==．
當(dāng)E點(diǎn)在N點(diǎn)左側(cè)點(diǎn)E₁位置時(shí)，過點(diǎn)E₁作E₁Q₁⊥A’N于點(diǎn)Q₁．
∵tan∠A’NK==，
∴設(shè)E₁Q₁=3m，則Q₁N=4m．
又∵tan∠E₁A’B’=，
∴A’Q₁=24m，
∴28m=，
∴m=，
∴E₁N=，
∴OE₁=ON-E₁N=，此時(shí)t=．
過點(diǎn)E₁作E₁S₁⊥A’O于點(diǎn)S₁．
∵sin∠E₁OS₁=sin∠A′OK，
∴，
∴E₁S₁=．
∵⊙E的半徑為，而，
∴⊙E₁與直線A’O相交．
當(dāng)E點(diǎn)在N點(diǎn)右側(cè)點(diǎn)E₂位置時(shí)，
過點(diǎn)E₂作E₂Q₂⊥A′N于點(diǎn)Q₂．
同理OE₂=5，此時(shí)t=5．
過點(diǎn)E₂作E₂S₂⊥A′O于點(diǎn)S₂．
同理E₂S₂==．
∵⊙E的半徑為，
∴⊙E₂與直線A′O相切．
∴當(dāng)t=或t=5時(shí)，tan∠EA′B′=；
當(dāng)t=時(shí)直線A′O與⊙E相交，當(dāng)t=5時(shí)直線A′O與⊙E相切．
點(diǎn)評：解決較復(fù)雜的幾何問題，作出合適的輔助線是解決問題的一個(gè)關(guān)鍵，同時(shí)要熟記一些定理或推論．