Question

【題目】如圖（1），直線⊥軸于點(diǎn)P，Rt△ABC中，斜邊AB=5，直角邊AC=3，點(diǎn)A（0， ）在軸上運(yùn)動，直角邊BC在直線上，將△ABC繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DEF。以直線為對稱軸的拋物線經(jīng)過點(diǎn)F。

（1）求點(diǎn)F的坐標(biāo)（用含的式子表示）

（2）①如圖（2）當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)C時，拋物線恰好過坐標(biāo)原點(diǎn)。求此時拋物線的解析式；

②如圖（3）不改變①中拋物線的開口方向和形狀，讓點(diǎn)A的位置發(fā)生變化，使拋物線與線段AB始終有交點(diǎn)M（， ）.

(ⅰ)求的取值范圍；

（ⅱ）變化過程中，當(dāng)變成某一個值時，點(diǎn)A的位置唯一確定，求此時點(diǎn)M的坐標(biāo)。

圖（1） 圖（2） 圖（3）

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，0）；（2）①；②（�。� ；（ii）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（， ）

【解析】（1）由旋轉(zhuǎn)可知，PF=PC=|t |，當(dāng)t時，OF=OP+PF=t+3，易知F（t+3，0）；

當(dāng)時，OF=OP－PF= ，點(diǎn)F坐標(biāo)為（，0）； 當(dāng)時，OF= PF－OP=，點(diǎn)F坐標(biāo)仍為點(diǎn)F坐標(biāo)為（，0）

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，0）

（2）①由拋物線的對稱性可知，PF=PO=3，又由旋轉(zhuǎn)PC=PF，故此時點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，3），設(shè)拋物線的解析式為，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：

∴此時拋物線的解析式為

②由于拋物線形狀和對稱軸不發(fā)生改變，故可設(shè)拋物線解析式為，由于拋物線過點(diǎn)F（，0），代入可得： ，即此時拋物線為

（ⅰ）易求點(diǎn)B坐標(biāo)為（3， ），由于，∴點(diǎn)B恒在拋物線頂點(diǎn)下方，只有點(diǎn)A在拋物線上或上方，拋物線與線段AB才有交點(diǎn)。

當(dāng)從0開始增大時，PF增大，拋物線與軸左邊交點(diǎn)向左移動，拋物線與軸交點(diǎn)隨之上移，點(diǎn)M逐漸向點(diǎn)A靠攏，當(dāng)拋物線過點(diǎn)A時， 取得最大值；而當(dāng)從0開始減小時點(diǎn)F在O、P之間，由于拋物線隨著的減小向上移動，而點(diǎn)A向下移動，故點(diǎn)M會向點(diǎn)A靠攏，故當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A時， 取得最小值。將點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線，得：

∴。

（ⅱ）易求AB解析式為，將點(diǎn)M坐標(biāo)代入直線與拋物線解析式可得：

消去，并化簡得： ，

由于當(dāng)變成某一個值時，點(diǎn)A的位置唯一確定，所以上述關(guān)于的方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，從而有：

，

解得： （舍去）

代入AB解析式，可得：

所以，此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為（， ）

“點(diǎn)睛”此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定拋物線解析式、二次函數(shù)的最值、一元二次方程的判別式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵，解題時要注意用分類討論思想．