Question

先將一矩形ABCD置于直角坐標(biāo)系中，使點A與坐標(biāo)系的原點重合，邊AB、AD分別落在x軸、y軸上（如圖1），再將此矩形在坐標(biāo)平面內(nèi)按逆時針方向繞原點旋轉(zhuǎn)30°（如圖2），若AB=4，BC=3，請分別在圖1和圖2中求出點B和點C的坐標(biāo)．
（備選數(shù)據(jù)：sin30°=

1

2

，cos30°=

3

2

）

Answer 1

分析：在圖2中分別過點B、C作x軸的垂線，垂足分別為E、F，過B作BG⊥CF于G，則有在Rt△ABE中，利用三角函數(shù)即可求得BE與OE的長面積可確定B的坐標(biāo)，在直角△BCG中，利用三角函數(shù)即可求得CG，BG的長，即可求得C的坐標(biāo)．

解答：解：在圖1中，B（4，0）、C（4，3）；

在圖2中，分別過點B、C作x軸的垂線，垂足分別為E、F，過B作BG⊥CF于G，則有在Rt△ABE中，OE=ABcos30°=4×

3

2

=2

3

，BE=ABsin30°=4×

1

2

=2，
∴B（2

3

，2）．
設(shè)AB與CF交于點H，
則由∠ABC=∠AFH，∠AHF=∠CHB，得∠BCG=∠BAE=30°，
在Rt△BGC中，BG=BCsin30°=3×

1

2

=

3

2

∴OF=OE-FE=OE-BG=2

3

-

3

2

，
CF=CG+GF=CG+BE=

3 3

2

+2=

3 3 +4

2

，
∴C點的坐標(biāo)是：（2

3

-

3

2

，

3 3 +4

2

）．

點評：本題主要考查了坐標(biāo)的確定，以及三角函數(shù)，求點的坐標(biāo)的問題最基本的方法是作坐標(biāo)軸的垂線，轉(zhuǎn)化為求線段的長的問題．