Question

【題目】已知，如圖，以△ABC的一邊BC為直徑的⊙O分別交AB、AC于D、E，下面判斷中：①當△ABC為等邊三角形時，△ODE是等邊三角形；②當△ODE是等邊三角形，△ABC為等邊三角形；③當∠A＝45°時，△ODE是直角三角形；④當△ODE是直角三角形時，∠A＝45°．正確的結(jié)論有（　�。�

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由△ABC為等邊三角形，可得∠B=∠C=60°．又由OB=OC=OD=OE，即可證得△OBD，△OEC均為等邊三角形，繼而證得△ODE是等邊三角形；

解：①∵△ABC為等邊三角形，

∴∠B＝∠C＝60°．

∵OB＝OC＝OD＝OE，

∴△OBD，△OEC均為等邊三角形．

∴∠BOD＝∠COE＝60°．

∴∠DOE＝60°．

∵OD＝OE，

∴△ODE為等邊三角形，故①正確；

②當△ODE是等邊三角形，∠A=60°，∠C≠60°，△ABC不是等邊三角形，故②錯誤；

③連接CD，，

∵BC是直徑，

∴∠BDC＝90°＝∠ADC．

∵∠A＝45°，

∴∠ACD＝45°，

∴∠DOE＝2∠DCE＝90°，

即△ODE是直角三角形，故③正確；

④∵BC是直徑，

∴∠BDC＝90°＝∠ADC．

∵∠ECD＝∠DOE＝45°，

∴∠A＝90°﹣∠ACD＝45°，故④正確；

故選：C．