Question

【題目】閱讀短文，解決問題

如果一個三角形和一個菱形滿足條件：三角形的一個角與菱形的一個角重合，且菱形的這個角的對角頂點在三角形的這個角的對邊上，則稱這個菱形為該三角形的“親密菱形”.如圖1，菱形AEFD為△ABC的“親密菱形”.

如圖2，在△ABC中，以點A為圓心，以任意長為半徑作弧，交AB、AC于點M、N，再分別以M、N為圓心，以大于MN的長為半徑作弧，兩弧交于點P，作射線AP，交BC于點F，過點F作FD//AC，F(xiàn)E//AB.

(1)求證：四邊形AEFD是△ABC的“親密菱形”；

(2)當AB=6，AC=12，∠BAC=45°時，求菱形AEFD的面積.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) 四邊形的面積為.

【解析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖可知AF平分∠BAC，再根據(jù)DF//AC，可得AD=DF，再由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得四邊形AEFD是平行四邊形，繼而可得平行四邊形AEFD是菱形，根據(jù)“親密菱形”的定義即可得證；

（2）設菱形的邊長為a，即DF=AD=a，則BD=6-a，可證得△BDF∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質可求得a=4，過D作DG⊥AC，垂足為G，在Rt△ADG中， DG=2，繼而可求得面積.

（1）由尺規(guī)作圖可知AF平分∠BAC，

∴∠DAF=∠EAF，

∵DF//AC，∴∠DFA=∠EAF，∴∠DAF=∠DFA，∴AD=DF，

∵FD//AC，F(xiàn)E//AB，∴四邊形AEFD是平行四邊形，

∴平行四邊形AEFD是菱形，

∵∠BAC與∠DAE重合，點F點BC上，

∴菱形AEFD為△ABC的“親密菱形”；

（2）設菱形的邊長為a，即DF=AD=a，則BD=6-a，

∵DF//AC，∴△BDF∽△BAC，

∴BD：BA=BF：AC，

即（6-a）:6=a：12，

∴a=4，

過D作DG⊥AC，垂足為G，

在Rt△ADG中，∠DAG=45°，∴DG=AD=2，

∴S菱形AEFD=AEDG=8，

即四邊形AEFD的面積為8.