【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AC為⊙O的直徑,D為的中點(diǎn),過點(diǎn)D作DE∥AC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)若CE=,AB=6,求⊙O的半徑.
【答案】(1)DE與⊙O相切;理由見解析;(2)4.
【解析】
(1)連接OD,由D為的中點(diǎn),得到,進(jìn)而得到AD=CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DOA=∠ODE=90°,求得OD⊥DE,于是得到結(jié)論;
(2)連接BD,根據(jù)四邊形對(duì)角互補(bǔ)得到∠DAB=∠DCE,由得到∠DAC=∠DCA=45°,求得△ABD∽△CDE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
(1)解:DE與⊙O相切
證:連接OD,在⊙O中
∵D為的中點(diǎn)
∴
∴AD=DC
∵AD=DC,點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)
∴OD⊥AC
∴∠DOA=∠DOC=90°
∵DE∥AC
∴∠DOA=∠ODE=90°
∵∠ODE=90°
∴OD⊥DE
∵OD⊥DE,DE經(jīng)過半徑OD的外端點(diǎn)D
∴DE與⊙O相切.
(2)解:連接BD
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形
∴∠DAB+∠DCB=180°
又∵∠DCE+∠DCB=180°
∴∠DAB=∠DCE
∵AC為⊙O的直徑,點(diǎn)D、B在⊙O上,
∴∠ADC=∠ABC=90°
∵,
∴∠ABD=∠CBD=45°
∵AD=DC,∠ADC=90°
∴∠DAC=∠DCA=45°
∵DE∥AC
∴∠DCA=∠CDE=45°
在△ABD和△CDE中
∵∠DAB=∠DCE,∠ABD=∠CDE=45°
∴△ABD∽△CDE
∴=
∴=
∴AD=DC=4, CE=,AB=6,
在Rt△ADC中,∠ADC=90°,AD=DC=4,
∴AC==8
∴⊙O的半徑為4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn).下列結(jié)論:①;②當(dāng)時(shí),有最小值;③方程有兩個(gè)不等實(shí)根;④若連接這兩個(gè)交點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn),恰好是一個(gè)等腰直角三角形,則;其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.4B.3C.2D.1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,且點(diǎn)O是BD的中點(diǎn),若AB=AD=5,BD=8,∠ABD=∠CDB,則四邊形ABCD的面積為( )
A.40B.24C.20D.15
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我市自開展“學(xué)習(xí)新思想,做好接班人”主題閱讀活動(dòng)以來(lái),受到各校的廣泛關(guān)注和同學(xué)們的積極響應(yīng),某校為了解全校學(xué)生主題閱讀的情況,隨機(jī)抽查了部分學(xué)生在某一周主題閱讀文章的篇數(shù),并制成下列統(tǒng)計(jì)圖表.
某校抽查的學(xué)生文章閱讀的篇數(shù)統(tǒng)計(jì)表
文章閱讀的篇數(shù)(篇) | 3 | 4 | 5 | 6 | 7及以上 |
人數(shù)(人) | 20 | 28 | m | 16 | 12 |
請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中的信息,解答下列問題:
(1)求被抽查的學(xué)生人數(shù)和的值;
(2)求本次抽查的學(xué)生文章閱讀篇數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù);
(3)若該校共有800名學(xué)生,根據(jù)抽查結(jié)果估計(jì)該校學(xué)生在這一周內(nèi)文章閱讀的篇數(shù)為4篇的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,3),(3,0).
(1)則b=,c=;
(2)該二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為;
(3)在所給坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象;
(4)根據(jù)圖象,當(dāng)-3<x<2時(shí),y的取值范圍是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,以點(diǎn)為圓心,的長(zhǎng)為半徑作,交于點(diǎn),交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).過點(diǎn)作,交于點(diǎn),連接,,.
(1)求證:是的切線;
(2)填空:
①當(dāng)四邊形是周長(zhǎng)為20的菱形時(shí), ;
②當(dāng) 時(shí),四邊形是正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠A=30°,點(diǎn)O是邊AB上一點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心,以OB為半徑作圓,⊙O恰好與AC相切于點(diǎn)D,連接BD.若BD平分∠ABC,AD=2,則線段CD的長(zhǎng)是( 。
A. 2 B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A在雙曲線y=的第一象限的那一支上,AB⊥y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C在x軸正半軸上,且OC=2AB,點(diǎn)E在線段AC上,且AE=3EC,點(diǎn)D為OB的中點(diǎn),若△ADE的面積為,則k的值為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面是小宇設(shè)計(jì)的“作已知直角三角形的中位線”的尺規(guī)作圖過程.
已知:在△ABC中,∠C=90°.
求作:△ABC的中位線DE,使點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E在AC上.
作法:如圖,
①分別以A,C為圓心,大于AC長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于P,Q兩點(diǎn);
②作直線PQ,與AB交于點(diǎn)D,與AC交于點(diǎn)E.
所以線段DE就是所求作的中位線.
根據(jù)小宇設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明.
證明:連接PA,PC,QA,QC,DC,
∵PA=PC,QA= ,
∴PQ是AC的垂直平分線( )(填推理的依據(jù)).
∴E為AC中點(diǎn),AD=DC.
∴∠DAC=∠DCA,
又在Rt△ABC中,有∠BAC+∠ABC=90°,∠DCA+∠DCB=90°.
∴∠ABC=∠DCB( )(填推理的依據(jù)).
∴DB=DC.
∴AD=BD=DC.
∴D為AB中點(diǎn).
∴DE是△ABC的中位線.
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