(2012•棗陽市模擬)已知如圖,矩形OABC的長OA=
3
,寬OC=1,將△AOC沿AC翻折得△AFC.
(1)求過A、F、C三點的拋物線解析式;
(2)設(shè)(1)中的拋物線與矩形OABC邊CB相交于點D,與x軸相交于另外一點E,若點M是x軸上的點,N是y軸上的點,若以點E、M、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形,試求點M、N的坐標;
(3)若動點P以每秒
2
3
3
個單位長度的速度從C點出發(fā)沿CB 向終點B運動,同時動點Q從A點出發(fā)以每秒
3
個單位長度的速度沿射線AO運動,當P運動到B點時,P,Q同時停止運動.當點P運動時間t(秒)為何值時,以P、C、O為頂點的三角形與以Q、O、C為頂點的三角形相似?
分析:(1)根據(jù)矩形的邊長求得點F的坐標,利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式即可;
(2)首先求得拋物線與x軸的交點E的坐標,然后分當DN∥EM且DN=EM時和當M在E點右側(cè)時求得M、N的坐標即可;
(3)若以P、C、Q為頂點的三角形與△QOC相似,因∠POC=∠QCO=90°,則有CQ=OP或OC2=CQ•OP.然后分當P、Q在y軸同側(cè)時和當P、Q在y軸異側(cè)時利用相似三角形的性質(zhì)列出有關(guān)t的方程求解即可.
解答:解:(1)∵OA=
3
,OC=1,
∴tan∠OAC=
3
3

∴∠OAC=30°∠ACF=∠ACO=60°…(1分)
過F作FM⊥OA于M,交CB于G,則FG⊥CD.
∠GCF=30°,GF=
1
2
CF=
1
2
OC=
1
2

CG=
3
2

∴F(
3
2
,
3
2
)…(2分)
設(shè)過 A、B、C三點拋物線解析式為y=ax2+bx+c.
∴c=1
3
4
a+
3
2
b=
1
2
3a+
3
b=-1.
…(3分)
解之,得
a=-
4
3
b=
3

y=-
4
3
x2+
3
x+1
.…(4分)

(2)∵由-
4
3
x2+
3
x+1=0
,得x1=
3
,x2=-
3
4

∴E(-
3
4
,0)…(5分)
-
4
3
x2+
3
x+1=1
,得x1=0,x2=
3
4
3

∴D(
3
4
3
,1).…(6分)
①當DN∥EM且DN=EM時,當M在E點左側(cè)時,M1-
3
,0),此時N1(0,1)…(7分)
當M在E點右側(cè)時,OM2=
3
2

∴M2
3
2
,0),此時N2(0,1)…(8分)
②當ED∥MN且ED=MN時,過D作DH⊥OA于H,M3
3
,0),N3(0,-1)…(9分)

(3)若以P、C、Q為頂點的三角形與△QOC相似,因∠POC=∠QCO=90°,則有
CQ=OP或OC2=CQ•OP.
當P、Q在y軸同側(cè)時:
2
3
3
t=
3
-
3
t
,得t=
3
5
.…(10分)
2
3
3
t(
3
-
3
t)=1
,得  2t2-2t+1=0.
△=4-8=-4<0,故無解.
當P、Q在y軸異側(cè)時:
2
3
3
t=
3
t-
3
,得t=3>
3
2
,不合題意,舍去…(11分)
2
3
3
t(
3
t-
3
)=1
,得2t2-2t-1=0.t1=
1-
3
2
<0舍去,
t2=
1+
3
2

∴t=
3
5
1+
3
2
…(12分)
點評:本題考查了二次函數(shù)的綜合知識,往往是中考題的壓軸題,難度相對比較大.解決此類問題時充分考慮各種情況是解決此類題目的關(guān)鍵.
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(1)試判斷DE與⊙O的位置關(guān)系并證明;
(2)求證:BC2=2CD•OE;
(3)若tanC=
5
2
,DE=2,求AD的長.

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