Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²-2x-1的圖象的頂點為A，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于原點O及另一點C．它的頂點B在函數(shù)y=x²-2x-1的圖象的對稱軸上．
（1）求點A與點C的坐標；
（2）當點B與點A關(guān)于x軸對稱時，求函數(shù)y=ax²+bx+c的解析式，并判斷這個四邊形AOBC能否通過一個直徑為1.8的圓孔．

Answer 1

解：（1）∵y=x²-2x-1，
∴y=（x-1）²-2，
∴A（1，-2），
∵y=ax²+bx+c的頂點B在函數(shù)y=x²-2x-1的圖象的對稱軸上，
如圖得：∴OF=1根據(jù)拋物線的對稱性得，
FC=1，
∴CO=2，
∴C（2，0）；

（2）∵點B與點A關(guān)于x軸對稱
∴B（1，2），
∴，解得，
∴拋物線的解析式為：y=-2x²+4x，
∵OC⊥AB，OF=CF，BF=AF，
∴四邊形AOBC是菱形，
∵CO=2＞1.8，
∴這個四邊形AOBC能通過一個直徑為1.8的圓孔．
分析：（1）將二次函數(shù)y=x²-2x-1化為頂點式，就可以求出頂點A的坐標，利用拋物線的對稱性就可以求出OF=CF，從而求出C的坐標．
（2）通過第一問可以求出A、O、B、C的坐標，從而可以求得四邊形AOBC是菱形，而短的對角線長為2＞1.8，從判斷可以通過一個直徑為1.8的圓孔．
點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了拋物線的頂點式，拋物線圖象的對稱性，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式等知識點．