Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知A，B是拋物線y=ax2（a＞0）上兩個不同的點，其中A在第二象限，B在第一象限．
（1）如圖1所示，當直線AB與x軸平行，∠AOB=90°，且AB=2時，求此拋物線的解析式和A，B兩點的橫坐標的乘積；

（2）如圖2所示，在（1）所求得的拋物線上，當直線AB與x軸不平行，∠AOB仍為90°時，求證：A、B兩點橫坐標的乘積是一個定值；

（3）在（2）的條件下，如果直線AB與x軸、y軸分別交于點P、D，且點B的橫坐標為 ．那么在x軸上是否存在一點Q，使△QDP為等腰三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

作BE⊥x軸，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴BE=OE= AB=1，

∴A（﹣1，1），B（1，1），

∴A，B兩點的橫坐標的乘積為﹣1×1=﹣1，

∵拋物線y=ax2（a＞0）過A，B，

∴a=1，

∴拋物線y=x2，

（2）解：如圖2，

作BN⊥x軸，作AM⊥x軸，

∴∠AOB=AMO=∠BNO=90°，

∴∠MAO=∠BON，

∴△AMO∽△ONB，

∴ ，

∴AM×BN=OM×ON，

設A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線上，

∴AM=y1=x12，BN=y2=x22，OM=﹣x1，ON=x2，

∴x12×x22=﹣x1×x2，

∴x1×x2=﹣1，

∴A，B兩點橫坐標的乘積是一個定值；

（3）解：由（2）得，A，B兩點橫坐標的乘積是一個定值為﹣1，

∵點B的橫坐標為 ，

∴點A的橫坐標為﹣2，

∵A，B在拋物線上，

∴A（﹣2，4），B（ ， ），

∴直線AB解析式為y=﹣ x+1，

∴P（ ，0），D（0，1）

設Q（n，0），

∴DP2= ，PQ2=（n﹣ ）2，DQ2=n2+1

∵△QDP為等腰三角形，

∴①DP=PQ，

∴DP2=PQ2，

∴ =（n﹣ ）2，

∴n= ，

∴Q1（ ，0），Q2（ ，0）

②DP=DQ，

∴DP2=DQ2，

∴ =n2+1，

∴n= （舍）或n=﹣ ，

Q3（﹣ ，0）

③PQ=DQ，

∴PQ2=DQ2，

∴（n﹣ ）2=n2+1

∴n=﹣ ，

∴Q4（﹣ ，0），

∴存在點Q坐標為Q1（ ，0），Q2（ ，0），Q3（﹣ ，0），Q4（﹣ ，0），

【解析】（1）利用拋物線性質及待定系數(shù)法可求出解析式及橫坐標乘積；（2）通過“作BN⊥x軸，作AM⊥x軸”構造相似三角形，即△AMO∽△ONB，對應邊成比例，轉化為乘積式，A，B兩點橫坐標的乘積是一個定值；（3）利用（2）的結論求出A、B坐標，若△QDP為等腰三角形，須分類討論，即①DP=PQ②DP=DQ③PQ=DQ，分別求出Q坐標.