Question

如圖1，直線y=x與直線y=-2x+4交于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直線OA上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ∥x軸交直線y=-2x+4于點(diǎn)Q，以PQ為邊，向下作正方形PQMN，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．
（1）求交點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A過程中，正方形PQMN與△OAB重疊的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在點(diǎn)Q，使△OCQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可聯(lián)立得方程組

y=x y=-2x+4

，解此方程組即可求得交點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）由P（t，t），PQ∥x軸交直線y=-2x+4于點(diǎn)Q，可得Q（

4-t

2

，t），然后由當(dāng)點(diǎn)N落在x軸上時(shí)，PN=PQ，求得t的值，然后分別從當(dāng)0＜t≤

4

5

時(shí)與當(dāng)

4

5

＜t≤

4

3

時(shí)去分析求解即可求得答案；
（3）首先求得點(diǎn)B與C的坐標(biāo)，繼而求得BC的長(zhǎng)，再分別從若CQ₁=OQ₁，若OC=CQ=4與若OQ₄=OC=4時(shí)去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）聯(lián)立得方程組

y=x y=-2x+4

，
解得：

x= 4 3 y= 4 3

，
故交點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（

4

3

，

4

3

）；

（2）∵P（t，t），PQ∥x軸交直線y=-2x+4于點(diǎn)Q，
∴Q（

4-t

2

，t），
∴PQ=

4-t

2

-t=

4-3t

2

，
當(dāng)點(diǎn)N落在x軸上時(shí)，
∵PN=PQ
∴t=

4-3t

2

，
解得：t=

4

5

，
①當(dāng)0＜t≤

4

5

時(shí)，S=t•

4-3t

2

=-

3

2

t²+2t；
②當(dāng)

4

5

＜t≤

4

3

時(shí)，S=PQ²=（

4-3t

2

）²=

9

4

t²-6t+4；

（3）存在點(diǎn)Q，使△OCQ為等腰三角形．
∵點(diǎn)C是直線y=-2x+4與y軸的交點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)C（0，4），B（2，0），
即OC=4，OB=2，
∴BC=

OC2+OB2

=2

5

，
①若CQ₁=OQ₁，過點(diǎn)Q₁作Q₁D⊥OC，
則OD=

1

2

OC=2，
當(dāng)y=2時(shí)，即-2x+4=2，
解得：x=1，
∴點(diǎn)Q₁（1，2）；
②若OC=CQ=4，
過點(diǎn)Q₂作Q₂E⊥OC于點(diǎn)E，則Q₂E∥OB，
∴△CQ₂E∽△CBO，
∴

Q2E

OB

=

CQ2

BC

，
即

Q2E

2

=

4

2 5

，
解得：Q₂E=

4 5

5

，
∴當(dāng)x=

4 5

5

時(shí)，y=-2×

4 5

5

+4=4-

8 5

5

，
∴點(diǎn)Q₂（

4 5

5

，4-

8 5

5

）；
同理：點(diǎn)Q₃（-

4 5

5

，4+

8 5

5

）；
③若OQ₄=OC=4時(shí)，過點(diǎn)Q₄作Q₄F⊥x軸，
設(shè)點(diǎn)Q₄（x，-2x+4），
∴x²+（-2x+4）²=16，
解得：x=

16

5

，x=0（舍去），
∴點(diǎn)Q₄（

16

5

，-

12

5

）；
綜上可得：一共有4個(gè)點(diǎn)滿足，分別為：Q₁（1，2），Q₂（

4 5

5

，4-

8 5

5

），Q₃（-

4 5

5

，4+

8 5

5

），Q₄（

16

5

，-

12

5

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．