Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2＋bx－3a經(jīng)過A(－1，0)，C(0，－3)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B.

(1)求此拋物線的表達(dá)式；

(2)已知點(diǎn)D(m，－m－1)在第四象限的拋物線上，求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)D′的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，連接BD.問在x軸上是否存在點(diǎn)P，使∠PCB＝∠CBD？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1) y＝x2－2x－3;(2) (0，－1);(3) P的坐標(biāo)為(1，0)或(9，0).

【解析】

（1）將A（1，0）、C（0，3）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y＝ax2＋bx3a中，列方程組求a、b的值即可；

（2）將點(diǎn)D（m，m1）代入（1）中的拋物線解析式，求m的值，再根據(jù)對(duì)稱性求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)D'的坐標(biāo)；

（3）分兩種情形①過點(diǎn)C作CP∥BD，交x軸于P，則∠PCB＝∠CBD，②連接BD′，過點(diǎn)C作CP′∥BD′，交x軸于P′，分別求出直線CP和直線CP′的解析式即可解決問題．

(1)將A(－1，0)，C(0，－3)代入拋物線y＝ax2＋bx－3a中，

得，

解得，

∴y＝x2－2x－3；

(2)將點(diǎn)D(m，－m－1)代入y＝x2－2x－3中，得m2－2m－3＝－m－1.

解得m＝2或－1，

∵點(diǎn)D(m，－m－1)在第四象限，

∴D(2，－3)，

∵直線BC的表達(dá)式為y＝x－3，

∴∠BCD＝∠BCO＝45°，CD′＝CD＝2，OD′＝3－2＝1.

∴點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)D′的坐標(biāo)為(0，－1)，

(3)存在，滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，

①過點(diǎn)C作CP∥BD，交x軸于點(diǎn)P，則∠PCB＝∠CBD，

∵直線BD的表達(dá)式為y＝3x－9，直線CP過點(diǎn)C，

∴直線CP的表達(dá)式為y＝3x－3.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)；

②連接BD′，過點(diǎn)C作CP′∥BD′，交x軸于點(diǎn)P′，

則∠P′CB＝∠D′BC，

根據(jù)對(duì)稱性可知∠D′BC＝∠CBD，

∴∠P′CB＝∠CBD，

∵直線BD′的表達(dá)式為y＝x－1，直線CP′過點(diǎn)C，

∵直線CP′的表達(dá)式為y＝x－3，

∴點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(9，0)，

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)或(9，0).