【題目】如圖,拋物線的圖象與x軸交于A﹣1.0),B30)兩點,與y軸交于點C0,﹣3),頂點為D

1)求此拋物線的解析式.

2)求此拋物線頂點D的坐標和對稱軸.

3)探究對稱軸上是否存在一點P,使得以點PD、A為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,請求出所有符合條件的P點的坐標,若不存在,請說明理由.

【答案】(1;(2D的坐標是(1,﹣4),對稱軸是直線x=1;(3P1, )或(1)或(1, )或(14).

【解析】試題分析:(1)根據(jù)拋物線的圖象與x軸交于A﹣1.0),B30)兩點,與y軸交于點C0﹣3),可以求得拋物線的解析式;

2)根據(jù)(1)中的解析式化為頂點式,即可得到此拋物線頂點D的坐標和對稱軸;

3)首先寫出存在,然后運用分類討論的數(shù)學思想分別求出各種情況下點P的坐標即可.

試題解析:(1拋物線的圖象與x軸交于A﹣1.0),B3,0)兩點,與y軸交于點C0,﹣3),,解得: ,即此拋物線的解析式是;

2=,此拋物線頂點D的坐標是(1﹣4),對稱軸是直線x=1;

3)存在一點P,使得以點P、DA為頂點的三角形是等腰三角形,設點P的坐標為(1y),分三種情況討論:

PA=PD=,解得,y=,即點P的坐標為(1);

DA=DP時, =,解得,y=,即點P的坐標為(1)或(1, );

AD=AP時, =,解得,y=±4,即點P的坐標是(1,4)或(1﹣4),當點P為(1﹣4)時與點D重合,故不符合題意.

由上可得,以點PD、A為頂點的三角形是等腰三角形時,點P的坐標為(1)或(1, )或(1, )或(14).

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