Question

【題目】如圖，反比例函數(shù)的圖象與直線y=3x相交于點(diǎn)C，過直線上點(diǎn)A(1，3)作AB⊥x軸于點(diǎn)B，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D，且AB=3BD.

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)在y軸上確定一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到C，D兩點(diǎn)距離之和d=MC+MD最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）;（2）C（，）;（3）M（0，）

【解析】

（1）由條件可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得反比例函數(shù)解析式；

（2）聯(lián)立直線與反比例函數(shù)解析式可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）找C點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′，連接C′D交y軸于點(diǎn)，由對(duì)稱的性質(zhì)可知M點(diǎn)即為所求的點(diǎn)．

（1）∵A（1，3），AB⊥x軸于點(diǎn)D，

∴AB=3，OB=1，

∵AB=3BD，

∴BD=1，

∴D（1，1），

∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上，

∴1=，解得k=1，

∴反比例函數(shù)解析式為y=；

（2）聯(lián)立直線與反比例函數(shù)解析式可得

，解得或，

∵點(diǎn)C在第一象限，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（，）；

（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′，

∴C′（-，），

連接C′D交y軸于點(diǎn)M，

′

則MC=MC′，

∴d=MC+MD=MC′+MD=DC′，

∴點(diǎn)M即為滿足條件的點(diǎn)，

設(shè)直線C′D解析式為y=mx+n，

把C′、D的坐標(biāo)代入可得，解得，

∴直線C′D的解析式為y=（3-2）x+（2-2），

令x=0可得y=2-2，

∴M（0，2-2）．