(2012•珠海)如圖,把正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到正方形A′B′CD′(此時(shí),點(diǎn)B′落在對(duì)角線AC上,點(diǎn)A′落在CD的延長線上),A′B′交AD于點(diǎn)E,連接AA′、CE.
求證:(1)△ADA′≌△CDE;
(2)直線CE是線段AA′的垂直平分線.
分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD,∠ADC=90°,∠EA′D=45°,則∠A′DE=90°,再計(jì)算出∠A′ED=45°,根據(jù)等角對(duì)等邊可得A′D=ED,即可利用SAS證明△AA′D≌△CED;
(2)首先由AC=A′C,可得點(diǎn)C在AA′的垂直平分線上;再證明△AEB′≌△A′ED,可得AE=A′E,進(jìn)而得到點(diǎn)E也在AA′的垂直平分線上,再根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線可得直線CE是線段AA′的垂直平分線.
解答:證明:(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠ADC=90°,
∴∠A′DE=90°,
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方法可得:∠EA′D=45°,
∴∠A′ED=45°,
∴A′D=DE,
在△AA′D和△CED中
AD=CD
∠ADA′=∠EDC
A′D=ED
,
∴△AA′D≌△CED(SAS);

(2)∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及(1)可得:AC=A′C,∠ACE=∠A′CE,
∴點(diǎn)C在AA′的垂直平分線上,
∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線,
∴∠CAE=45°,
∵AC=A′C,CD=CB′,
∴AB′=A′D,
在△AEB′和△A′ED中
∠EAB′=∠EA′D
∠AEB′=∠A′ED
AB′=A′D

∴△AEB′≌△A′ED(AAS),
∴AE=A′E,
∴點(diǎn)E也在AA′的垂直平分線上,
∴直線CE是線段AA′的垂直平分線.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了正方形的性質(zhì),以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì):正方形的四條邊都相等,四個(gè)角都是直角;正方形的兩條對(duì)角線相等,互相垂直平分,并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)后相等的線段.
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(2012•珠海)如圖,二次函數(shù)y=(x-2)2+m的圖象與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B是點(diǎn)C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn).已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上點(diǎn)A(1,0)及點(diǎn)B.
(1)求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象,寫出滿足kx+b≥(x-2)2+m的x的取值范圍.

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(2012•珠海)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是高,AM是△ABC外角∠CAE的平分線.
(1)用尺規(guī)作圖方法,作∠ADC的平分線DN;(保留作圖痕跡,不寫作法和證明)
(2)設(shè)DN與AM交于點(diǎn)F,判斷△ADF的形狀.(只寫結(jié)果)

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(2012•珠海)如圖,水渠邊有一棵大木瓜樹,樹干DO(不計(jì)粗細(xì))上有兩個(gè)木瓜A、B(不計(jì)大小),樹干垂直于地面,量得AB=2米,在水渠的對(duì)面與O處于同一水平面的C處測(cè)得木瓜A的仰角為45°、木瓜B的仰角為30°.求C處到樹干DO的距離CO.(結(jié)果精確到1米)(參考數(shù)據(jù):
3
≈1.73,
2
≈1.41

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(2012•珠海)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=3
2
,DC=
2
,高CE=2
2
,對(duì)角線AC、BD交于H,平行于線段BD的兩條直線MN、RQ同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速平移,分別交等腰梯形ABCD的邊于M、N和R、Q,分別交對(duì)角線AC于F、G;當(dāng)直線RQ到達(dá)點(diǎn)C時(shí),兩直線同時(shí)停止移動(dòng).記等腰梯形ABCD被直線MN掃過的圖形面積為S1、被直線RQ掃過的圖形面積為S2,若直線MN平移的速度為1單位/秒,直線RQ平移的速度為2單位/秒,設(shè)兩直線移動(dòng)的時(shí)間為x秒.
(1)填空:∠AHB=
90°
90°
;AC=
4
4
;
(2)若S2=3S1,求x;
(3)設(shè)S2=mS1,求m的變化范圍.

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