Question

已知如圖，△ABC．
（1）如圖①，若P點是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點，點E是外角∠MBC，∠BCN的角平分線的交點；
（2）如圖②，若P點是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點，點E是∠ABC和外角∠ACH的角平分線的交點；
（3）如圖③，若P點是∠ABC和外角∠ACH的角平分線的交點，點E是外角∠MBC，∠BCN的角平分線的交點．
請猜測三種情況下，∠BPC與∠E的數量關系，并選擇其中兩種情況說明理由．

Answer 1

分析：要說明∠BPC與∠E的數量關系，可以利用測量的方法，測出各個角的度數，即可猜想出結論．利用三角形的內角與外角的性質即可證明．

解答：解：（1）∠BPC+∠E=180°；

（2）∠BPC-∠E=90°；

（3）∠BPC+∠E=90°

證明（1）圖①
∵P、E分別是△ABC的內、外角平分線的交點，
∴∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠MBC
∴∠1+∠2=

1

2

（∠ABC+∠MBC）=90°
同理∠3+∠4=90°
∴∠BPC+∠E=360°-2×90°=180°
證明（2）圖②
∵P、E分別是△ABC的內、外角平分線的交點，
∴∠1=

1

2

∠ACB，∠2=

1

2

∠ACH
∴∠1+∠2=

1

2

（∠ACB+∠ACH）=90°
∴∠BPC=∠E+∠PCE，
即∠BPC-∠E=90°
證明（3）圖③
∵P點是∠ABC和外角∠ACH的角平分線的交點，
點E是外角∠MBC，∠BCN的角平分線的交點．
∴∠EBP=90°，
∴∠BPC+∠E=90°．

點評：①幾何計算題中，如果依據題設和相關的幾何圖形的性質列出方程（或方程組）求解的方法叫做方程的思想；
②求角的度數常常要用到“三角形的內角和是180°”這一隱含的條件；
③三角形的外角通常情況下是轉化為內角來解決．