Question

（10分）在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，CD為∠BCA外角的平分線，F(xiàn)為 上
點(diǎn)，BC＝AF，延長(zhǎng)DF與BA的延長(zhǎng)線交于E．
（1）求證△ABD為等腰三角形．
（2）求證AC•AF＝DF•FE．

Answer 1

（1）證法一：連CF、BF
∠ACD=∠MCD=∠CDB＋∠CBD=∠CFB＋∠CFD=∠DFB
而∠ACD=∠DFB=∠DAB又∠ACD=∠DBA
∴∠DAB=∠DBA   ∴△ABD為等腰三角形  ……（4分）
證法二：
由題意有∠MCD=∠ACD =∠DBA,又∠MCD+∠BCD=∠DAB+∠BCD=180°,
∴∠MCD=∠DAB，∴∠DAB=∠DBA即△.ABD為等腰三角形    ……（4分）
（2）由（1）知AD=BD，BC=AF，則弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，
∴弧CD=弧DF,∴弧CD=弧DF……①                     ……（5分）
又BC=AF,∴∠BDC=∠ADF,∠BDC＋∠BDA=∠ADF＋∠BDA，即∠CDA=∠BDF，
而∠FAE＋∠BAF=∠BDF＋∠BAF=180°，∴∠FAE=∠BDF=∠CDA，
同理∠DCA=∠AFE                                    ……（8分）
∴在△CDA與△FDE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE
∴△CDA∽△FAE
∴,即CD·EF=AC·AF，又由①有AC·AF=DF·EF
命題即證                                             ……（10分）

略