Question

如圖，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（13，0），B（11，12）．動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、B兩點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度沿x軸向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．線段PQ和OB相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥x軸，交AB于點(diǎn)E，射線QE交x軸于點(diǎn)F．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PABQ是平行四邊形．
（2）△PQF的面積是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)求出△PQF的面積s關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；若不變，請(qǐng)求出△PQF的面積．
（3）隨著P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，△PQF的形狀也隨之發(fā)生了變化，試問何時(shí)會(huì)出現(xiàn)等腰△PQF？

Answer 1

分析：（1）設(shè)OP=2t，QB=t，PA=13-2t，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)（對(duì)邊平行且相等）知，只需QB=PA，從而求得t；
（2）根據(jù)平行線分線段成比例求得

QB

OP

=

QD

DP

=

1

2

；然后由平行線OB∥DE∥PA分線段成比例求得

QB

AF

=

1

2

；利用等量代換求得AF=2QB=2t，PF=OA=13；最后由三角形的面積公式求得△PQF的面積；
（3）由（2）知，PF=OA=13．分三種情況解答：①Q(mào)P=FQ，作QG⊥x軸于G，則11-t-2t=2t+13-（11-t）；②PQ=FP；③FQ=FP．

解答：解：（1）設(shè)OP=2t，QB=t，PA=13-2t，要使四邊形PABQ為平行四邊形，則13-2t=t
∴t=

13

3

．

（2）不變．
∵

QB

OP

=

QD

DP

，
∴

QD

DP

=

1

2

，
∵QB∥DE∥PA，
∴

QB

AF

=

QE

EF

=

BD

DO

=

QD

DP

=

1

2

，
∴AF=2QB=2t，
∴PF=OA=13，
∴S_△PQF=

1

2

×13×12=78；

（3）由（2）知，PF=OA=13，
①Q(mào)P=FQ，作QG⊥x軸于G，則11-t-2t=2t+13-（11-t），
∴t=

3

2

；
②PQ=FP，
∴

(11-3t)2+122

=13，
∴t=2或

16

3

；
③FQ=FP，

[13+2t-(11-t)]2+122

=13，
∴t=1；
綜上，當(dāng)t=

3

2

或2或1或

16

3

時(shí)，△PQF是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了平行線分線段成比例、平行四邊形的判定、等腰三角形的判定及勾股定理與直角梯形性質(zhì)的應(yīng)用．解答此題時(shí)，多處用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，防止漏解．