Question

【題目】問題提出

如圖1，點A為線段BC外一動點，且，填空：當(dāng)點A位于______時，線段AC的長取得最大值，且最大值為______用含的式子表示．

問題探究

點A為線段BC外一動點，且，如圖2所示，分別以為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接，找出圖中與BE相等的線段，請說明理由，并直接寫出線段BE長的最大值．

問題解決：

如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，點P為線段AB外一動點，且，求線段AM長的最大值及此時點P的坐標(biāo)．

如圖4，在四邊形ABCD中， ，若對角線于點D，請直接寫出對角線AC的最大值．

Answer 1

【答案】 CB的延長線上；

【解析】分析：

（1）由題意可知，當(dāng)點A在CB的延長線上時，線段AC的值最大，最大值為：AC=AB+BC=a+b；

（2）由已知條件易證△ABE≌△ADC，由此可得BE=DC，結(jié)合（1）中結(jié)論可知，當(dāng)點D在CB的延長線上時，BE最長=CD最長=BC+AB=9；

（3）①如下圖5，連接BM，將△APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)得到△PBN，連接AN，則△APN是等腰直角三角形，則由已知易得AB=3，AN=AP=，結(jié)合（1）可知，當(dāng)點N在BA的延長線上時，AM最大=BN最大=AB+AN=；如圖6，當(dāng)點N在BA的延長線上時，過點P作PE⊥AN于點E，由△APN是等腰直角三角形，AP=2，即可求得OE和PE的長，從而可得此時點P的坐標(biāo)；②如下圖7，以BC為邊作等邊三角形△BCM，連接DM，由已知條件易證△ABC≌△DBM，從而可得AC=DM，由此可得當(dāng)DM的值最大時，AC的值就最大，由∠BDC=90°可知點D在以BC為直徑的上運動，由圖可知當(dāng)D在BC上方，且DM⊥BC時，DM的值最大，最大值為：等腰直角△BDC斜邊BC上的高+等邊△BMC的高.

詳解：

（1）∵點A為線段BC外一動點，且，

∴當(dāng)點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為，

故答案為：CB的延長線上， ；

，

理由：∵與是等邊三角形，

∴，

∴，

即，

在與中，

，

∴≌，

∴；

②∵線段BE長的最大值線段CD的最大值，

∴由知，當(dāng)線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上，

∴最大值為；

（3）①如圖5，連接BM，將繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接AN，則是等腰直角三角形，

∴，

∵的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，

∴，

∴，

∴線段AM長的最大值線段BN長的最大值，

∴當(dāng)N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，

最大值，

∵，

∴最大值為；

如圖6，過P作軸于E，

∵是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴

②如下圖7，以BC為邊作等邊三角形△BCM，連接DM，

∵，

∴

∵，

∴≌，

∴，

∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，

∵定值， ，

∴點D在以BC為直徑的上運動，

由圖象可知，當(dāng)點D在BC上方，DM⊥BC時，DM的值最大，最大值=等腰直角△BDC斜邊上的高+等邊△BCM的高，

∵BC=，

∴DM最大=，

∴AC最大=．