Question

【題目】已知：如圖，直線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，線段的長是方程的一個根，請解答下列問題：

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）雙曲線與直線交于點(diǎn)，且，求的值；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)在線段上，，直線軸，垂足為，點(diǎn)在直線上，在直線上的坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）10；（3）或

【解析】

（1）解方程x2-7x-8=0得：x=8，或x=-1，得出OA=8，A（-8，0），代入y=x+b求出b=4，即可得出B（0，4）；
（2）在Rt△AOB中，由勾股定理求出AB= ，過點(diǎn)C作CH⊥x軸于H，則CH∥OB，由平行線得出△AOB∽△AHC，得出，求出CH=5，AH=10，得出OH=2，C（2，5），代入雙曲線得出k=10即可；
（3）先求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再分三種情況討論計(jì)算即可得出結(jié)論．

解：(1)解方程得或.

∵線段的長是方程的一個根，

∵的長是正數(shù)

∴，

∴．

將代入，得，

∴，

∴．·

（2）在中，，

∴.

如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，

∴

∴ 即

解得，

∴，

∴．

∵雙曲線（）經(jīng)過點(diǎn)，

∴·

（3）存在

①當(dāng)為以點(diǎn)為頂點(diǎn)的矩形的一邊時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，作交直線于點(diǎn)，如圖所示，

∴，

∴

∴

∴，

∴，

∴．

∵，

∴設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，

把代入，得，

解得，

∴直線的函數(shù)表達(dá)式為

當(dāng)時(shí)，，

∴，

∴．（注：也可以用三角形相似求解 ∴如圖3

圖3

∵

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；（點(diǎn)的平移）

當(dāng)為以點(diǎn)為頂點(diǎn)的矩形的一邊時(shí)，同理得出滿足條件的另一點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②當(dāng)為以點(diǎn)為頂點(diǎn)的矩形的對角線時(shí)，點(diǎn)在直線的下方，不符合題意。

∴滿足條件的的坐標(biāo)為或；