【題目】我們知道,三角形的三條中線一定會(huì)交于一點(diǎn),這一點(diǎn)就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性質(zhì),如關(guān)于線段比.面積比就有一些“漂亮”結(jié)論,利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問(wèn)題.請(qǐng)你利用重心的概念完成如下問(wèn)題:
(1)若O是△ABC的重心(如圖1),連結(jié)AO并延長(zhǎng)交BC于D,證明: ;
(2)若AD是△ABC的一條中線(如圖2),O是AD上一點(diǎn),且滿足 ,試判斷O是△ABC的重心嗎?如果是,請(qǐng)證明;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若O是△ABC的重心,過(guò)O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H(均不與△ABC的頂點(diǎn)重合)(如圖3),S四邊形BCHG , S△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積,試探究 的最大值.
【答案】
(1)
證明:如答圖1所示,連接CO并延長(zhǎng),交AB于點(diǎn)E.
∵點(diǎn)O是△ABC的重心,∴CE是中線,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn).
∴DE是中位線,
∴DE∥AC,且DE= AC.
∵DE∥AC,
∴△AOC∽△DOE,
∴ =2,
∵AD=AO+OD,
∴
(2)
答:點(diǎn)O是△ABC的重心.
證明:如答圖2,作△ABC的中線CE,與AD交于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q為△ABC的重心.
由(1)可知, ,
而 ,
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合(是同一個(gè)點(diǎn)),
∴點(diǎn)O是△ABC的重心
(3)
解:如答圖3所示,連接DG.
設(shè)S△GOD=S,由(1)知 ,即OA=2OD,
∴S△AOG=2S,S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S.
為簡(jiǎn)便起見(jiàn),不妨設(shè)AG=1,BG=x,則S△BGD=3xS.
∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=(3x+3)S,
∴S△ABC=2S△ABD=(6x+6)S.
設(shè)OH=kOG,由S△AGO=2S,得S△AOH=2kS,
∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=(2k+2)S.
∴S四邊形BCHG=S△ABC﹣S△AGH=(6x+6)S﹣(2k+2)S=(6x﹣2k+4)S.
∴ = = ①
如答圖3,過(guò)點(diǎn)O作OF∥BC交AC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)G作GE∥BC交AC于點(diǎn)E,則OF∥GE.
∵OF∥BC,
∴ ,
∴OF= CD= BC;
∵GE∥BC,
∴ ,
∴GE= ;
∴ = ,
∴ .
∵OF∥GE,
∴ ,
∴ = ,
∴k= ,代入①式得:
= = =﹣x2+x+1=﹣(x﹣ )2+ ,
∴當(dāng)x= 時(shí), 有最大值,最大值為
【解析】(1)如答圖1,作出中位線DE,證明△AOC∽△DOE,可以證明結(jié)論;(2)如答圖2,作△ABC的中線CE,與AD交于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q為△ABC的重心.由(1)可知, ,而已知 ,故點(diǎn)O與點(diǎn)Q重合,即點(diǎn)O為△ABC的重心;(3)如答圖3,利用圖形的面積關(guān)系,以及相似線段間的比例關(guān)系,求出 的表達(dá)式,這是一個(gè)二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減小;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小,以及對(duì)相似三角形的判定的理解,了解相似三角形的判定方法:兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似(ASA);直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似; 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等,兩三角形相似(SAS);三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似(SSS).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若拋物線y=x2﹣2x+c與y軸的交點(diǎn)為(0,﹣3),則下列說(shuō)法不正確的是( )
A.拋物線開(kāi)口向上
B.拋物線的對(duì)稱軸是x=1
C.當(dāng)x=1時(shí),y的最大值為﹣4
D.拋物線與x軸的交點(diǎn)為(﹣1,0),(3,0)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)x,y定義一種新運(yùn)算T,規(guī)定:T(x,y)=ax+2by-1(其中a,b均為非零常數(shù)),這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算,例如:T(0,1)=a·0+2b·1-1=2b-1.已知T(1,-1)=-2,T(-3,2)=4.
(1)求a,b的值;
(2)利用(1)的結(jié)果化簡(jiǎn)求值:(a-b)2-(a+2b)·(a-2b)+2a(1+b).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某批發(fā)門市銷售兩種商品,甲種商品每件售價(jià)為300元,乙種商品每件售價(jià)為80元.新年來(lái)臨之際,該門市為促銷制定了兩種優(yōu)惠方案:
方案一:買一件甲種商品就贈(zèng)送一件乙種商品;
方案二:按購(gòu)買金額打八折付款.
某公司為獎(jiǎng)勵(lì)員工,購(gòu)買了甲種商品20件,乙種商品x(x≥20)件.
(1)分別寫(xiě)出優(yōu)惠方案一購(gòu)買費(fèi)用y1(元)、優(yōu)惠方案二購(gòu)買費(fèi)用y2(元)與所買乙種商品x(件)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若該公司共需要甲種商品20件,乙種商品40件.設(shè)按照方案一的優(yōu)惠辦法購(gòu)買了m件甲種商品,其余按方案二的優(yōu)惠辦法購(gòu)買.請(qǐng)你寫(xiě)出總費(fèi)用w與m之間的關(guān)系式;利用w與m之間的關(guān)系式說(shuō)明怎樣購(gòu)買最實(shí)惠.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校為了解九年級(jí)學(xué)生體育測(cè)試情況,以九年級(jí)(1)班學(xué)生的體育測(cè)試成績(jī)?yōu)闃颖,?/span>A,B,C,D四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如下的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你結(jié)合圖中所給信息解答下列問(wèn)題:
(說(shuō)明:A級(jí):90分~100分;B級(jí):75分~89分;C級(jí):60分~74分;D級(jí):60分以下)
(1)請(qǐng)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中D級(jí)所在的扇形的圓心角度數(shù)是多少?
(3)若該校九年級(jí)有600名學(xué)生,請(qǐng)用樣本估計(jì)體育測(cè)試中A級(jí)學(xué)生人數(shù)約為多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)為落實(shí)市教育局提出的“全員育人,創(chuàng)辦特色學(xué)!钡臅(huì)議精神,決心打造“書(shū)香校園”,計(jì)劃用不超過(guò)1900本科技類書(shū)籍和1620本人文類書(shū)籍,組建中、小型兩類圖書(shū)角共30個(gè).已知組建一個(gè)中型圖書(shū)角需科技類書(shū)籍80本,人文類書(shū)籍50本;組建一個(gè)小型圖書(shū)角需科技類書(shū)籍30本,人文類書(shū)籍60本.符合題意的組建方案有( 。┓N.
A. 1種 B. 2種 C. 3種 D. 4種
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,A,B,C為⊙O上相鄰的三個(gè)n等分點(diǎn), ,點(diǎn)E在 上,EF為⊙O的直徑,將⊙O沿EF折疊,使點(diǎn)A與A′重合,點(diǎn)B與B′重合,連接EB′,EC,EA′.設(shè)EB′=b,EC=c,EA′=p.現(xiàn)探究b,c,p三者的數(shù)量關(guān)系:發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=3時(shí),p=b+c.請(qǐng)繼續(xù)探究b,c,p三者的數(shù)量關(guān)系:當(dāng)n=4時(shí),p=;當(dāng)n=12時(shí),p= . (參考數(shù)據(jù):sin15°=cos75°= ,cos15°=sin75°= )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(2,0),B(0,4),作△BOC,使△BOC與△ABO全等,則點(diǎn)C坐標(biāo)為_____________.(點(diǎn)C不與點(diǎn)A重合)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知如圖,直線AB、CD相交于點(diǎn)O,∠COE=90°,若∠BOD:∠BOC=1:5.
(1)求∠AOC的度數(shù);
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB,求∠DOF與∠EOF的度數(shù).
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