【題目】如圖1,已知:在矩形ABCD中,ABcm,AD=9cm,點(diǎn)O從A點(diǎn)出發(fā)沿AD以acm/s的速度移向點(diǎn)D移動(dòng),以O為圓心,2cm長(zhǎng)為半徑作圓,交射線AD于M(點(diǎn)M在點(diǎn)O右側(cè)).同時(shí)點(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)沿CD以cm/s的速度移向點(diǎn)D移動(dòng),過E作直線EF∥BD交BC于F,再把△CEF沿著動(dòng)直線EF對(duì)折,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G. 若在整過移動(dòng)過程中△EFG的直角頂點(diǎn)G能與點(diǎn)M重合.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0<t≤3)秒.
(1)求a的值;
(2)在運(yùn)動(dòng)過程中,
①當(dāng)直線FG與⊙O相切時(shí),求t的值;
②是否存在某一時(shí)刻t,使點(diǎn)G恰好落在⊙O上(異于點(diǎn)M)?若存在,請(qǐng)直接寫出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)a=2cm/s;(2)①t=s或s時(shí),直線FG與⊙O相切;②t=s時(shí),點(diǎn)G在⊙O上.
【解析】
(1)如圖1中,當(dāng)點(diǎn)G在AD上時(shí),首先證明∠FEC=∠FEG=∠GED=60°,由EC=EG=t,DE=t,可得t+t=3,解方程即可;
(2)①如圖2中,作GQ⊥AD于Q,GR⊥CD于R,QG的延長(zhǎng)線交BC于P,FG的延長(zhǎng)線交AD于T,解直角三角形求出TD,然后分情況討論,分別列出方程求出相切時(shí)的時(shí)間;
②如圖5中,作GN⊥AD,則DN=t,ON=DN-OD=t-(9-2t)=t-9,NG= ,OG=2,根據(jù)OG2=ON2+NG2,構(gòu)建方程即可.
解:(1)如圖1中,當(dāng)點(diǎn)G在AD上時(shí).
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,
∵AB=3,AD=9,
∴tan∠BDA= ,
∴∠ADB=30°,
∵BC∥AD,EF∥BD,
∴∠CFE=∠CBD=∠ADB=30°,
∴∠FEC=∠FEG=60°,
∴∠GED=60°,
∵CE=EG=t,
在Rt△GED中,DE=t,
∴t+t=3,
∴t=2,
∴CE=EG=2,DE=,DG=3,AG=6,
∵在整過移動(dòng)過程中△EFG的直角頂點(diǎn)G能與點(diǎn)M重合,
∴2a+2=6,
∴a=2cm/s.
(2)①如圖2中,作GQ⊥AD于Q,GR⊥CD于R,QG的延長(zhǎng)線交BC于P,FG的延長(zhǎng)線交AD于T.
由題意CE=EG=t,ER=t,QD=PC=RG=t,QG=DR=3-t-t=3-t,
在Rt△GQT中,∵∠TGQ=30°,
∴QT=QGtan30°=3-t,
∴TD=t-(3-t)=3t-3,
如圖3中,當(dāng)⊙O與FG相切于點(diǎn)N時(shí),易知OA=2t,OT=,TD=3t-3,
則有2t++3t-3=9,
解得t= .
如圖4中,當(dāng)⊙O再次與FG相切時(shí).
由OA+DT-OT=AD,可得2t+3t-3-=9,
解得t=
綜上所述,t=s或s時(shí),直線FG與⊙O相切
②如圖5中,當(dāng)點(diǎn)G在⊙O上時(shí),
作GN⊥AD,則DN=t,ON=DN-OD=t-(9-2t)=t-9,NG= ,OG=2,
∵OG2=ON2+NG2,
∴(t-9)2+( )2=4,
整理得:19t2-90t+104=0
∴(t-2)(19t-52)=0,
∴t= 或t=2(舍棄)
∴t=s時(shí),點(diǎn)G在⊙O上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知矩形ABCD中,AB=3,BC=5,P是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn).
(1)請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī),按下列要求作圖:(不要求寫作法,但保留作圖痕跡),在CD邊上確定一點(diǎn)E,使得∠DEP+∠APB=180°;
(2)在(1)的條件下,點(diǎn)P從點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)C的過程中,對(duì)應(yīng)點(diǎn)E隨之運(yùn)動(dòng),則移動(dòng)過程中點(diǎn)E經(jīng)過的總路程長(zhǎng)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是菱形,∠B=60°,AB=1,扇形AEF的半徑為1,圓心角為60°,則圖中陰影部分的面積是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,斜坡AB長(zhǎng)10米,按圖中的直角坐標(biāo)系可用表示,點(diǎn)A,B分別在x軸和y軸上,且.在坡上的A處有噴灌設(shè)備,噴出的水柱呈拋物線形落到B處,拋物線可用表示.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式(不必寫自變量取值范圍);
(2)求水柱離坡面AB的最大高度;
(3)在斜坡上距離A點(diǎn)2米的C處有一顆3.5米高的樹,水柱能否越過這棵樹?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】本學(xué)期開學(xué)初,學(xué)校體育組對(duì)九年級(jí)某班50名學(xué)生進(jìn)行了跳繩項(xiàng)目的測(cè)試,根據(jù)測(cè)試成績(jī)制作了下面兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖.
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題:
(1)本次測(cè)試的學(xué)生中,得4分的學(xué)生有多少人?
(2)本次測(cè)試的平均分是多少分?
(3)通過一段時(shí)間的訓(xùn)練,體育組對(duì)該班學(xué)生的跳繩項(xiàng)目進(jìn)行了第二次測(cè)試,測(cè)得成績(jī)的最低分為3分.且得4分和5分的人數(shù)共有45人,平均分比第一次提高了0.8分,問第二次測(cè)試中得4分、5分的學(xué)生各有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下表是某班同學(xué)隨機(jī)投擲一枚硬幣的試驗(yàn)結(jié)果.
拋擲次數(shù) | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 | 350 | 400 | 450 | 500 |
“正面向上”次數(shù) | 22 | 52 | 68 | 101 | 116 | 147 | 160 | 187 | 214 | 238 |
“正面向上”頻率 | 0.44 | 0.52 | 0.45 | 0.51 | 0.46 | 0.49 | 0.46 | 0.47 | 0.48 | 0.48 |
下面有三個(gè)推斷:
①表中沒有出現(xiàn)“正面向上”的頻率是0.5的情況,所以不能估計(jì)“正面向上”的概率是0.5;
②這些次試驗(yàn)投擲次數(shù)的最大值是500,此時(shí)“正面向上”的頻率是0.48,所以“正面向上”的概率是0.48;
③投擲硬幣“正面向上”的概率應(yīng)該是確定的,但是大量重復(fù)試驗(yàn)反映的規(guī)律并非在每一次試驗(yàn)中都發(fā)生;
其中合理的是__________(填寫序號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有5道選擇題,每題1分,每道題在、、三個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)是正確的.下表是甲、乙、丙、丁四位同學(xué)每道題填涂的答案和這5道題的得分:
第一題 | 第二題 | 第三題 | 第四題 | 第五題 | 得分 | |
甲 | 4 | |||||
乙 | 3 | |||||
丙 | 2 | |||||
丁 |
(1)則甲同學(xué)錯(cuò)的是第 題;
(2)丁同學(xué)的得分是 ;
(3)如果有一個(gè)同學(xué)得了1分,他的答案可能是 (寫出一種即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1)在正方形中,點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn),連接,作,重足為,交于.
(1)求證:;
(2)連接,若平分,如圖(2),求證:點(diǎn)是中點(diǎn):
(3)在(2)的條件下,連接,如圖(3),求證:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中,已知格點(diǎn)四邊形ABCD(頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn))和格點(diǎn)O.
(1)將四邊形ABCD先向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度,得到四邊形A1B1C1D1,畫出平移后的四邊形A1B1C1D1,(點(diǎn)A,B,C,D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A1,B1,C1,D1);
(2)將四邊形ABCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到四邊形A2B2C2D2,畫出旋轉(zhuǎn)后的四邊形A2B2C2D2(點(diǎn)A、B,C,D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A2,B2,C2,D2);
(3)填空:點(diǎn)C2到A1D1的距離為_______.
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