Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，OA=3，AB=4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，使點A落在OC邊上的點E處，拋物線y=ax²+bx+c過A，E，B三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若M為拋物線的對稱軸上一動點，當△MBE的周長最小時，求M點的坐標；
（3）點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB向B點運動，同時點Q從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿BO向點O運動．P點到達終點B時，Q點同時停止運動，運動時間為t（秒）．設(shè)△PBQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）先求出A、B、E三點坐標，再將A、B、E三點坐標代入y=ax²+bx+c即可求得拋物線的解析式；
（2）由題意可知：M為直線AE與對稱軸x=2的交點時，△MBE的周長最小，先求出直線AE的解析式，進而可求得點M的坐標；
（3）根據(jù)題意先求出△ABO∽△NBQ，再根據(jù)相似的性質(zhì)求出PB和QN的長，進而求得△PBQ的面積為S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵四邊形OABC是矩形，OA=3，AB=4，
∴∠OAB=∠OCB=90°，OC=AB=4，CB=OA=3．
又∵OE=OA=3，
∴A﹙0，3﹚，B﹙4，3﹚，E﹙3，0﹚（2分）
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A，B，E三點，
∴

c=3 9a+3b+c=0 16a+4b+c=3.

解之得：

a=1 b=-4 c=3.

（6分）
∴拋物線的解析式為：y=x²-4x+3．（7分）

（2）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2．（9分）
∵點A，B關(guān)于直線x=2對稱，
∴M為直線AE與對稱軸x=2的交點時，ME+MB的值最小，而BE的長一定，此時△MBE的周長最�。�（10分）
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+m，
則有

m=3 3k+m=0.

解之得

k=-1 m=3.

∴y=-x+3．（13分）
當x=2時，y=1，
∴M點的坐標為（2，1）（14分）

（3）過Q點作QN⊥AB于N．
在矩形OABC中，OA⊥AB，
又∵∠ABO=∠NBQ，
∴△ABO∽△NBQ．（16分）
∴

BQ

QN

=

BO

AO

而OB=

AO2+AB2

=5，BQ=AP=t，
∴QN=

3t

5

，PB=4-t．（18分）
∴S=

1

2

PB•QN=

1

2

（4-t）×

3t

5

，
=-

3

10

t2+

6

5

t（0＜t＜4）．（20分）

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和三角形相似的性質(zhì)及動點問題等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．