Question

【題目】如圖1，∠MON=90°，點A、B分別在OM、ON上運動（不與點O重合）．
（1）若BC是∠ABN的平分線，BC的反方向延長線與∠BAO的平分線交與點D． ①若∠BAO=60°，則∠D=°．
②猜想：∠D的度數(shù)是否隨A，B的移動發(fā)生變化？并說明理由 ．
（2）若∠ABC= ∠ABN，∠BAD= ∠BAO，則∠D=°．
（3）若將“∠MON=90°”改為“∠MON=α（0°＜α＜180°）”，∠ABC= ∠ABN，∠BAD= ∠BAO，其余條件不變，則∠D=°（用含α、n的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】
（1）45；∠D的度數(shù)不變
（2）30
（3）
【解析】解：（1）①∵∠BAO=60°、∠MON=90°， ∴∠ABN=150°，
∵BC平分∠ABN、AD平分∠BAO，
∴∠CBA= ∠ABN=75°，∠BAD= ∠BAO=30°，
∴∠D=∠CBA﹣∠BAD=45°，
所以答案是：45；
②∠D的度數(shù)不變．理由是：
設∠BAD=α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2α，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC=45°+α，
∴∠D=∠ABC﹣∠BAD=45°+α﹣α=45°；（2）設∠BAD=α，
∵∠BAD= ∠BAO，
∴∠BAO=3α，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+3α，
∵∠ABC= ∠ABN，
∴∠ABC=30°+α，
∴∠D=∠ABC﹣∠BAD=30°+α﹣α=30°，
所以答案是：30；（3）設∠BAD=β，
∵∠BAD= ∠BAO，
∴∠BAO=nβ，
∵∠AOB=α°，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ，
∵∠ABC= ∠ABN，
∴∠ABC= +β，
∴∠D=∠ABC﹣∠BAD= +β﹣β= ，
所以答案是： ．
【考點精析】利用三角形的內角和外角和三角形的外角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．