Question

已知拋物線的解析式為y=-x²+2mx+4-m²．
（1）求證：不論m取何值，此拋物線與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)A、B之間的距離為定值；
（2）設(shè)點(diǎn)P為此拋物線上一點(diǎn)，若△PAB的面積為8，求符合條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)（可用含m的代數(shù)式表示）
（3）若（2）中△PAB的面積為s（s＞0），試根據(jù)面積s值的變化情況，確定符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）本題需先求出△的值，再證出△＞0，再設(shè)出A、B的坐標(biāo)，然后代入公式即可求出AB的長(zhǎng)．
（2）本題需先設(shè)出P的坐標(biāo)，再由題意得出b的值，然后即可求出符合條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）本題需分當(dāng)s=8時(shí)，當(dāng)0＜s＜8時(shí)，當(dāng)s＞8時(shí)三種情況進(jìn)行討論，即可得出符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）∵△=（2m）²-4×（-1）（4-m²）=16＞0，
∴不論m取何值，此拋物線與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)．
設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），
則|x1-x2|=|

-b+ b2-4ac

2a

-

-b- b2-4ac

2a

|=|

b2-4ac

a

|
=|

(2m)2-4×(-1)(4-m2)

-1

|=4；

（2）設(shè)P（a，b），則由題意b=-a²+2am+4-m²，且|

1

2

×4×b|=8，
解得b=±4．
當(dāng)b=4時(shí)得：a=m．
即P（m，4）；
當(dāng)b=-4時(shí)得：a=m±2

2

．即P(m+2

2

，-4)或P（m-2

2

，-4）；

（3）由（2）知當(dāng)s=8時(shí)，符合條件的點(diǎn)P有2個(gè)，
知當(dāng)0＜s＜8時(shí)，符合條件的點(diǎn)P有4個(gè)，
當(dāng)知當(dāng)s＞8時(shí)，符合條件的點(diǎn)P有2個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在解題時(shí)要綜合應(yīng)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及分類討論思想是本題的關(guān)鍵．