Question

如圖，?ABCD中，AB=9，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC=12，BD=6

5

．
（1）求證：?ABCD是菱形；
（2）求這個(gè)平行四邊形的面積．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，即可求得AO與BO的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理，即可求得△AOB為直角三角形，則可得AC⊥BD，根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可證得?ABCD是菱形；
（2）由菱形的面積等于兩條對(duì)角線的積的一半，即可求得菱形的面積．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，AC=12，BD=6

5

，
∴AO=

1

2

AC=6，BO=

1

2

BD=3

5

，
∵在△AOB中，AB=9，
∵6²+（3

5

）²=9²，
即AO²+BO²=AB²，
∴△AOB為直角三角形，
∴∠AOB=90°，
即AC⊥BD，
∴?ABCD是菱形；

（2）由（1）可知：?ABCD是菱形，即S_菱形ABCD=

1

2

AC×BD=36

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的判定與性質(zhì)與勾股定理的逆定理．注意據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，菱形的面積等于兩條對(duì)角線的積的一半．