Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是（0，4）、（﹣1，0）．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABP的面積最大時(shí)，求出此時(shí)P的坐標(biāo)及面積的最大值；
（3）若G為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，0），當(dāng)D、E、F、G構(gòu)成平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A，C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

，

解得 ，

拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4；

（2）

解：作PE⊥x軸交AB于E點(diǎn)，如圖1

，

當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+3x+4=0，解得x1=﹣1（不符合題意，舍），x2=4，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），

AB的解析式為y=kx+b，將A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

y=﹣x+4．

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣m2+3m+4），E（m，﹣m+4），

PE=﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）=﹣m2+4m，

S△ABP= ABxB= （﹣m2+4m）×4=﹣2（m﹣2）2+8，

當(dāng)m=2時(shí)，S△ABP有最大值，最大值是8，

m=2，﹣m2+3m+4=﹣4+6+4=6，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6）；

（3）

解：如圖2

，

由四邊形DEFG是平行四邊形，E，F(xiàn)在x軸上，得

GF=DE=4，

當(dāng)y=4時(shí)，﹣x2+3x+4=4，解得x1=0，x2=3，即D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）或（3，4）．

當(dāng)D、E、F、G構(gòu)成平行四邊形時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)（0，4）或（3，4）．

【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得PE的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得FG=4，根據(jù)自變量與函數(shù)值得對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解確定一次函數(shù)的表達(dá)式(確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法)，還要掌握二次函數(shù)的最值(如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．