Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．

（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P為線段BC上一點(diǎn)（不與B，C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)Q，使得△CNQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y=﹣x2+2x+3中，令x=0可得y=3，

∴C（0，3），

令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=3或x=﹣1，

∴A（﹣1，0），B（3，0）

（2）

解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則有 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．

設(shè)P（t，﹣t+3），則M（t，﹣t2+2t+3），

∴PM=（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t．

∴S△BCM= PM（ON+BN）= PMOB= ×3（﹣t2+3t）=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴當(dāng)t= 時(shí)，△BCM的面積最大，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）

（3）

解：∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，

∴設(shè)Q（1，m），且C（0，3），N（ ，0），

∴CN= = ，CQ= = ，NQ= = ，

∵△CNQ為直角三角形，

∴分點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)、點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)和點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)三種情況：

①當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，則有CN2+CQ2=NQ2，

即（ ）2+（m2﹣6m+10）= +m2，解得m= ，

此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1， ）；

②當(dāng)點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)時(shí)，則有NQ2+CQ2=CN2，

即（m2﹣6m+10）+ +m2=（ ）2，解得x= 或x= ，

此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1， ）或（1， ）；

③當(dāng)點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，則有NQ2+CN2=CQ2，

即（ ）2+ +m2=m2﹣6m+10，解得m=﹣ ，

此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣ ）；

綜上可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1， ）或（1， ）或（1， ）或（1，﹣ ）

【解析】（1）在拋物線解析式中，令x=0可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0則可求得A、B的坐標(biāo)；（2）由B、C的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式為y=﹣x+3，可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，﹣t+3），則可表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得PM的長(zhǎng)，從而可用t表示出△BCM的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)t的值，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）由（2）可知N點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，m），則可用m分別表示出QN、QC及CN，分點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)、點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)和點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)三種情況，分別根據(jù)勾股定理可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值，可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)．