Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，且OC=OB．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，若線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

       解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），

∴OB=3，

∵OC=OB，

∴OC=3，

∴c=3，

∴，

解得：，

∴所求拋物線解析式為：y=﹣x²﹣2x+3；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E（a，﹣a²﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）

∴EF=﹣a²﹣2a+3，BF=a+3，OF=﹣a，

∴S_{四邊形BOCE}=BF•EF+（OC+EF）•OF，

=（a+3）•（﹣a²﹣2a+3）+（﹣a²﹣2a+6）•（﹣a），

=﹣﹣a+，

=﹣（a+）²+，

∴當(dāng)a=﹣時(shí)，S_{四邊形BOCE}最大，且最大值為．

此時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)為（﹣，）；

（3）∵拋物線y=﹣x²﹣2x+3的對(duì)稱軸為x=﹣1，點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，

∴設(shè)P（﹣1，m），

∵線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線上，如圖，

∴PA=PA′，∠APA′=90°，

如圖3，過(guò)A′作A′N⊥對(duì)稱軸于N，設(shè)對(duì)稱軸于x軸交于點(diǎn)M，

∴∠NPA′+∠MPA=∠NA′P+∠NPA′=90°，

∴∠NA′P=∠NPA，

在△A′NP與△APM中，

，

∴△A′NP≌△PMA，

∴A′N=PM=|m|，PN=AM=2，

∴A′（m﹣1，m+2），

代入y=﹣x²﹣2x+3得：m+2=﹣（m﹣1）²﹣2（m﹣1）+3，

解得：m=1，m=﹣2，

∴P（﹣1，1），（﹣1，﹣2）．