Question

如圖，已知在△ABC中，∠A=90°，，經(jīng)過這個(gè)三角形重心的直線DE∥BC，分別交邊AB、AC于點(diǎn)D和點(diǎn)E，P是線段DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別做PM⊥BC，PF⊥AB，PG⊥AC，垂足分別為點(diǎn)M、F、G．設(shè)BM=x，四邊形AFPG的面積為y．
（1）求PM的長；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）連接MF、MG，當(dāng)△PMF與△PMG相似時(shí)，求BM的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點(diǎn)A作AN⊥BC于點(diǎn)N，交DE于點(diǎn)H，則點(diǎn)H為△ABC的重心，由重心的性質(zhì)即可求出HE的長度，也即得出PM的長度；
（2）過點(diǎn)D作DI⊥BC于I，表示出DP、PE，繼而表示出FP、PG，從而得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，也可得出x的取值范圍；
（3）因?yàn)閮扇�角形有公共邊，分兩種情況討論，①△PMF≌△PMG，②△PMF∽△PGM，分別求出x的值即可．
解答：解：（1）過點(diǎn)A作AN⊥BC于點(diǎn)N，交DE于點(diǎn)H，則點(diǎn)H為△ABC的重心，

由題意得△ABC是等腰直角三角形，
故AN=BC=3，
由重心的性質(zhì)可得：=2，
∴==，
故HN=AN=1，DE=4，
即可得PM的長為1．

（2）過點(diǎn)D作DI⊥BC于I，過點(diǎn)E作EK⊥BC于點(diǎn)K，

則BI=DI=PM=1，
設(shè)BM=x，則IM=DP=x-1，PE=4-DP=5-x，
易得△FDP、△GPE均為等腰直角三角形，
∴PF=，PG=，
則y=PF×PG=×=（x-1）（5-x）=，
由圖形可得點(diǎn)M處于I-K之間，故可得：1＜x＜5．
綜上可得y=，（1＜x＜5）．

（3）①當(dāng)△PMF≌△PMG時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)H重合，BM=BN=3；
②當(dāng)△PMF∽△PGM時(shí)，=，即=，
整理得：=，
解得x=3±．
綜上可得當(dāng)△PMF與△PMG相似時(shí)，求BM的長為3，3±．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合題，涉及了等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的面積及三角形重心的性質(zhì)，注意結(jié)合圖形進(jìn)行解答，觀察圖形得出點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的范圍，難度較大．