Question

已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為a和b．
（1）如圖，a=-1，b=7時(shí)
①求線段AB的長；
②若點(diǎn)P為數(shù)軸上與A、B不重合的動(dòng)點(diǎn)，M為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN的長度是否發(fā)生改變？若不變，并求出線段MN的長；若改變，請(qǐng)說明理由．
（2）不相等的有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B、Q，如果|a-c|-|b-c|=|a-b|，那么，Q點(diǎn)應(yīng)在什么位置？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)數(shù)軸與絕對(duì)值知，AB=|OB|+|OA|；
②分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)；③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)．分三種情況討論可求線段MN的長；
（2）分b＞a時(shí)；a＞b時(shí)；分兩種情況討論可得Q點(diǎn)應(yīng)在的位置．

解答：解：（1）①AB=7-（-1）=8；     
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)
MN=NP-MP=

1

2

BP-

1

2

AP=

1

2

AB=4    
當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)；
MN=MP+NP=

1

2

AP+

1

2

BP=

1

2

AB=4    
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)
MN=MP-NP=

1

2

AP-

1

2

BP=

1

2

AB=4；     

（2）|a-c|是A，Q間的距離，|b-c|是B，Q間的距離，|a-b|是A，B間的距離．
|a-c|-|b-c|=|a-b|，
當(dāng)b＞a時(shí)，Q在B的右側(cè)；
當(dāng)a＞b時(shí)，Q在B的左側(cè)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)軸、比較線段的才長短．解答此題時(shí)，既采用了形象、直觀的“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，又利用了不至于漏解的分類討論的數(shù)學(xué)思想．