精英家教網(wǎng)為了測(cè)量一個(gè)圓形鐵環(huán)的半徑,某同學(xué)采用如下方法:將鐵環(huán)平放在水平的桌面上,用一個(gè)銳角為30°的三角板和一個(gè)刻度尺,按照如圖(1)的方法(其中鐵環(huán)與三角板的斜邊相切)得到相關(guān)數(shù)據(jù),進(jìn)而求得鐵環(huán)的半徑.
(1)若測(cè)得PA=5cm,求鐵環(huán)的半徑;
(2)在相同的條件下,請(qǐng)你再設(shè)計(jì)一種測(cè)量圓形鐵環(huán)半徑的方法,畫(huà)出設(shè)計(jì)草圖,并說(shuō)明理由.
分析:(1)連接OP、OD、OA;由∠BAC=60°可得∠PAD=120°,由于PA、AD都是⊙O的切線(xiàn),由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得∠OAP=
1
2
∠PAD,即可根據(jù)PA的長(zhǎng)和∠OAP的度數(shù)在Rt△OPA中求得鐵環(huán)的半徑.
(2)參照(1)的思路,可讓直角三角板的直角邊BC與⊙O相切,切點(diǎn)仍為D,那么四邊形PODC為正方形,測(cè)得的PC的長(zhǎng)即為鐵環(huán)的半徑.
解答:解:(1)連接OP、OD、OA,則∠OPA=90°,∠ODA=90°;
∵∠BAC=60°,
∴∠PAD=120°;
∵PA、AD都是⊙O的切線(xiàn),
∴∠OAP=
1
2
∠PAD=60°;
在Rt△OPA中,PA=5cm,則OP=5
3
cm,
即⊙O的半徑為5
3
cm.

(2)如圖;令直角三角板的直角邊與⊙O相切,切點(diǎn)為D;
∵CP、CD都是⊙O的切線(xiàn),
∴∠OPC=∠ODC=∠PCD=90°,
∴四邊形OPCD是矩形;
又∵OP=OD,
∴四邊形OPCD是正方形;
因此測(cè)得PC的長(zhǎng),即為鐵環(huán)的半徑.
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點(diǎn)評(píng):此題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、切線(xiàn)長(zhǎng)定理、正方形的判定和性質(zhì)等知識(shí),難度適中.
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10
3
cm
10
3
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