Question

已知，如圖1，在直角坐標系中，有等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，拋物線y=

3

6

(x-2)(x-6)交x軸于點E、C（點C在點E的右側），交y軸于點A，它的對稱軸過點D，頂點為點F；
（1）求點A、B、C、D的坐標；
（2）點P是拋物線在第一象限內(nèi)的點，它到邊AB、BC所在直線的距離相等，求出點P的坐標；
（3）如圖2，若點Q是線段AD上的一個動點，AQ=t，以BQ為一邊作∠BQR=120°，交CD于點R，連接ER、FC，試探究：是否存在t的值，使ER∥FC？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線解析式中，令y=0，能求得點E、C的坐標；令x=0，能求得點A的坐標；若設拋物線對稱軸與x軸的交點為G，根據(jù)E、C的坐標即可得到點G的坐標，結合點A的坐標可得到點D的坐標；根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可知OB=CG，可據(jù)此求出點B的坐標．
（2）在Rt△ABO中，易求得∠ABO=60°，作∠ABO的角平分線，交y軸于點H，那么顯然∠HBO=30°，OB長已知，通過解直角三角形不難得到點H的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線BH的解析式，聯(lián)立直線BH和拋物線的解析式即可得到點P的坐標．
（3）易知∠BAD=∠ADC=120°，而∠BQR=120°，那么∠ABQ+∠BQA=∠DQR+∠BQA=180°-∠BQR=60°，根據(jù)這個條件不難判斷出△BAQ和△QDR是相似的，由此得到的條件是 BA：QD=AQ：DR，在這個比例關系式中，AB的長易知，AQ、QD的長都可由t表示出來，關鍵是求出DR的長，那么就要從BR∥FC的條件入手；點F的坐標易得，首先根據(jù)點F、C的坐標判斷出∠FCE=∠REC=30°，那么顯然△ERC是一個含30°角的特殊直角三角形，EC的長已知，則RC的長可得，而DR=CD-RC，則條件備齊．

解答：解：（1）拋物線y=

3

6

（x-2）（x-6）中，令y=0，得 x₁=2、x₂=6；
令x=0，得：y=2

3

；
∴A（0，2

3

）、E（2，0）、C（6，0）；
設拋物線的對稱軸與x軸的交點為G，根據(jù)拋物線的對稱性知G（4，0），則D（4，2

3

）；
在等腰梯形ABCD中，OB=CG=2，則 B（-2，0）．

（2）在Rt△ABO中，OA=2

3

，OB=2，那么 tan∠ABO=

OA

OB

=

2 3

2

=

3

，∠ABO=60°；
作直線BH，使得∠HBO=

1

2

∠ABO=30°，交y軸于點H，則H（0，

2 3

3

），
∴直線BH：y=

3

3

x+

2 3

3

；
由于點P到直線AB、BC的距離相等，所以點P在∠ABO的角平分線上，即點P為直線BH與拋物線的交點；
聯(lián)立直線BH與拋物線的解析式，有：

y= 3 3 (x+2) y= 3 6 (x-2)(x-6)

，解得

x1=5+ 17 y1= 3 3 (7+ 17 )

，

x2=5- 17 y2= 3 3 (7- 17 )

∴P點的坐標為（5+

17

，

7 3 + 51

3

）、（5-

17

，

7 3 - 51

3

）．

（3）由（1）的拋物線解析式可得：F（4，-

2 3

3

）；
在Rt△FCG中，F(xiàn)G=

2 3

3

，CG=2，所以tan∠FCG=

FG

CG

=

2 3 3

2

=

3

3

，即∠FCG=30°；
∵FC∥ER，∴∠REC=∠FCG=30°；
由（1）知，∠ABO=∠DCO=60°，∴∠ERC=90°；
在Rt△ERC中，EC=4，∠REC=30°，則 CR=

1

2

EC=2，DR=CD-CR=4-2=2；
∵∠BAQ=∠BQR=120°，
∴∠ABQ=∠DQR=60°-∠DQR，又∠BAQ=∠QDR，
∴△BAQ∽△QDR，則

BA

QD

=

AQ

DR

∴

4

4-t

=

t

2

，化簡，得：t²-4t+8=0
△=（-4）²-4×8＜0，因此不存在符合條件的t值．

點評：此題是函數(shù)與幾何的綜合題，主要涉及了函數(shù)圖象交點坐標的求法、拋物線的對稱性、等腰梯形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等等重要知識點，綜合性較強．最后一題中，通過各角的度數(shù)判斷出與題相關的相似三角形是解題的關鍵所在，也是此題的難點所在．