精英家教網(wǎng)如圖所示,在△ABC中,已知D是BC邊上的點(diǎn),O為△ABD的外接圓圓心,△ACD的外接圓與△AOB的外接圓相交于A,E兩點(diǎn).求證:OE⊥EC.
分析:要證OE⊥EC,就要得出∠OEC=90°,連接AE,BE,OA,OB,根據(jù)OA=OB,不難得出∠AEO=∠BEO=
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∠AEB,由于四邊形AOBE是圓的內(nèi)接四邊形,因此∠AOB+∠AEB=180°,那么只需證∠AEC=
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∠AOB即可.連接AD,根據(jù)圓周角定理∠ADC=∠AEC,在優(yōu)弧AB上,求一點(diǎn)F,連接AF,BF,那么四邊形ADBF就是圓O的內(nèi)接四邊形,∠ADC=∠F,而∠F=
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2
∠AOB=∠AEC,由此可得證.
解答:精英家教網(wǎng)證明:如圖,在
AB
上取點(diǎn)F,連接AF,BF,AO,BO,AD,AE,BE,則
∵A,D,B,F(xiàn)共圓,A,D,E,C共圓
∴∠AEC=∠ADC=∠F=
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∠AOB
∵AO=BO
AO
=
BO

∴∠AEO=∠BEO=
1
2
∠AEB
∴∠CEO=∠AEC+∠AEO=
1
2
(∠AOB+∠AEB)=90°
∴OE⊥EC.
點(diǎn)評:本題主要考查了圓周角定理和圓的內(nèi)接四邊形等知識(shí)點(diǎn),通過輔助線來構(gòu)建圓的內(nèi)接四邊形和與所求相關(guān)的圓周角是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在△ABC中,∠A=47°,∠C=77°,DE∥BC,BF平分∠ABC,BF交DE于點(diǎn)F,求∠BFE的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在△ABC中,D是AC的中點(diǎn),E是線段BC延長線上一點(diǎn),過點(diǎn)A作AF∥BC交ED的延長線于點(diǎn)F,連接AE,CF.
求證:(1)四邊形AFCE是平行四邊形;
(2)FG•BE=CE•AE.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

15、如圖所示,在△ABC中,DM、EN分別垂直平分AB和AC,交BC于D、E,若∠DAE=50°,則∠BAC=
115
度,若△ADE的周長為19cm,則BC=
19
cm.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在△ABC中,AB=AC,DE是邊AB的垂直平分線,交AB于E,交AC于D,若△BCD的周長為18cm,△ABC的周長為30cm,那么BE的長為
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在△ABC中,BC=7cm,AB=25cm,AC=24cm,P點(diǎn)在BC上從B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(不包括點(diǎn)C),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2cm∕s;Q點(diǎn)在AC上從C點(diǎn)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)(不包括點(diǎn)A),運(yùn)動(dòng)速度為5cm∕s,若點(diǎn)P、Q分別從B、C同時(shí)運(yùn)動(dòng),請解答下面的問題,并寫出主要過程.
(1)經(jīng)過多長時(shí)間后,P、Q兩點(diǎn)的距離為5
2
cm?
(2)經(jīng)過多長時(shí)間后,△PCQ面積為15cm2?

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