Question

定義：P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點(diǎn)，線段PQ長(zhǎng)度的最小值叫做線段與線段的距離.

已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四點(diǎn).

（1）根據(jù)上述定義，當(dāng)m=2，n=2時(shí)，如圖1，線段BC與線段OA的距離是_____,

當(dāng)m=5，n=2時(shí)，如圖2，線段BC與線段OA的距離(即線段AB的長(zhǎng))為______

 （2）如圖3，若點(diǎn)B落在圓心為A，半徑為2的圓上，線段BC與線段OA的距離記為d，求d關(guān)于m的函數(shù)解析式.

（3）當(dāng)m的值變化時(shí)，動(dòng)線段BC與線段OA的距離始終為2，線段BC的中點(diǎn)為M.

①求出點(diǎn)M隨線段BC運(yùn)動(dòng)所圍成的封閉圖形的周長(zhǎng);

②點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x軸,垂足為H，是否存在m的值，使以A、M、H為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）2；（2）（3）①16+4π②存在，m=1，m=3，m=

【解析】解：（1）2；。

       （2）∵點(diǎn)B落在圓心為A，半徑為2的圓上，∴2≤m≤6。

當(dāng)4≤m≤6時(shí)，根據(jù)定義， d=AB=2。

                當(dāng)2≤m＜4時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OA于點(diǎn)E，

則根據(jù)定義，d=EB。

               

②存在。如圖，

由A(4，0)，D(0，2), 得。

                

                  又FM₄=2，∴。

                  若△AOD∽△A H₂M₂，則,即,

                   解得（不合題意，舍去）。此時(shí)m=。

                   若△AOD∽△M₂H₂ A，則,即,

                   解得（不合題意，舍去）。