Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c和直線y=x+1交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在直線x=3上，直線x=3與x軸交于點(diǎn)C

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．以PQ為邊作矩形PQNM，使點(diǎn)N在直線x=3上．

①當(dāng)t為何值時(shí)，矩形PQNM的面積最小？并求出最小面積；

②直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，恰好有矩形PQNM的頂點(diǎn)落在拋物線上．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+3x+4；（2）①當(dāng)t=時(shí)，面積最小是；②t=、或2.

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；

（2）①分別用t表示PE、PQ、EQ，用△PQE∽△QNC表示NC及QN，列出矩形PQNM面積與t的函數(shù)關(guān)系式問題可解；

②由①利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)分別等于兩個(gè)端點(diǎn)橫縱坐標(biāo)平均分的數(shù)量關(guān)系，表示點(diǎn)M坐標(biāo)，分別討論M、N、Q在拋物線上時(shí)的情況，并分別求出t值．

（1）由已知，B點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，

∵A、B在y=x+1上，

∴A（﹣1，0），B（3，4），

把A（﹣1，0），B（3，4）代入y=﹣x2+bx+c得，

，解得：，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+3x+4；

（2）①如圖，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵直線y=x+1與x軸夾角為45°，P點(diǎn)速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，

∴t秒時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為（﹣1+t，0），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3﹣2t，0），

∴EQ=4﹣3t，PE=t，

∵∠PQE+∠NQC=90°，

∠PQE+∠EPQ=90°，

∴∠EPQ=∠NQC，

∴△PQE∽△QNC，

∴，

∴矩形PQNM的面積S=PQNQ=2PQ2，

∵PQ2=PE2+EQ2，

∴S=2（）2=20t2﹣48t+32，

當(dāng)t=時(shí)，

S最小=20×（）2﹣48×+32=；

②由①點(diǎn)Q坐標(biāo)為（3﹣2t，0），P（﹣1+t，t），C（3，0），

∴△PQE∽△QNC，可得NC=2QE=8﹣6t，

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（3，8﹣6t），

由矩形對(duì)邊平行且相等，P（﹣1+t，t），Q （3﹣2t，0），

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（3t﹣1，8﹣5t）

當(dāng)M在拋物線上時(shí)，則有

8﹣5t=﹣（3t﹣1）2+3（3t﹣1）+4，

解得t=，

當(dāng)點(diǎn)Q到A時(shí)，Q在拋物線上，此時(shí)t=2，

當(dāng)N在拋物線上時(shí)，8﹣6t=4，

∴t=，

綜上所述當(dāng)t=、或2時(shí)，矩形PQNM的頂點(diǎn)落在拋物線上．