Question

如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，E為AC的中點(diǎn)，ED交CB的延長(zhǎng)線于F．
求證：BD•CF=CD•DF．

Answer 1

分析：根據(jù)要證明的結(jié)論分析得，需要證明△FDB∽△FCD，∵∠F=∠F，再求得一個(gè)角相等即可，又CD是Rt△ABC斜邊上的高，E為AC的中點(diǎn)，∴DE=AE．通過外角及對(duì)頂角的性質(zhì)即可求得∠FBD=∠FDC，由如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似即可證得相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得．

解答：證明：∵CD⊥AB，E為斜邊AC的中點(diǎn)，
∴DE=CE=AE=

1

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AC，
∴∠EDA=∠A．
∵∠EDA=∠FDB，
∴∠A=∠FDB．
∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠A=∠FCD，
∴∠FDB=∠FCD．
∵△FDB∽△FCD，
∴BD：CD=DF：CF．
∴BD•CF=CD•DF．

點(diǎn)評(píng)：此題主要題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：
①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；
②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；
③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長(zhǎng)線所組成的三角形與原三角形相似．相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等．