【題目】如圖,在中,AB<AC,點D、F分別為BC、AC的中點,E點在邊AC上,連接DE,過點B作DE的垂線交AC于點G,垂足為點H,且與四邊形ABDE的周長相等,設AC=b,AB=c.
(1)求線段CE的長度;
(2)求證:DF=EF;
(3)若,求的值.
【答案】(1);(2)見詳解;(3)
【解析】
(1)根據題意得:AE+AB=CE,結合AB+AC=b+c,進而即可求解;
(2)根據中位線的性質和定義得DF =c,CF=b,結合CE=,可得EF的長,進而即可得到結論;
(3)連接BE、DG,設BG,DF交于點M,易得BE∥DG,從而得△ABE∽△FDG,進而得FG=(bc),再證∠EGH=∠ABG,從而得AB=AG=c,結合CF=FG+CG,得到關于b,c的等式,即可得到結論.
(1)∵與四邊形ABDE的周長相等,點D為BC的中點,
∴AE+AB=CE,
∵AE+AB+CE=AB+AC=b+c,
∴CE==;
(2)∵點D、F分別為BC、AC的中點,
∵DF是△CAB的中位線,
∴DF=AB=c,AF=CF=AC=b,
∵CE=,
∴EF=CE-CF=b =c,
∴DF=EF;
(3)連接BE、DG,設BG,DF交于點M,
∵S△BDH=S△EGH,
∴S△BDG=S△DEG,
∴BE∥DG,
∴∠EBC=∠GDC,
∵DF是△CAB的中位線,
∴DF∥AB,
∴∠ABC=∠FDC,∠A=∠DFC,
∴∠ABC-∠EBC=∠FDC-∠GDC,即:∠ABE=∠FDG,
∴△ABE∽△FDG,
∴,
∵AE=AC-CE=b-=(bc)
∴FG=AE=×(bc)=(bc),
∵DF=EF,
∴∠FED=∠FDE,
∵BG⊥DE,
∴∠FED+∠EGH=∠FDE+∠DMH=90°,
∴∠EGH=∠DMH,
又∵∠DMH=∠FMG,
∴∠EGH=∠FMG,
又∵∠FMG=∠ABG,
∴∠EGH=∠ABG,
∴AB=AG=c,
∴CG=bc,
∴CF=b=FG+CG=(bc)+(bc),
∴3b=5c,
∴=.
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【題目】拋物線的對稱軸為直線,且頂點在軸上,與軸的交點為,點的坐標為,點在拋物線的對稱軸上,直線與直線相交于點.
(1)求該拋物線的函數表達式.
(2)點是(1)中圖象上的點,過點作軸的垂線與直線交于點.試判斷是否為等腰三角形,并說明理由.
(3)作于點,當點從橫坐標2013處運動到橫坐標2019處時,請求出點運動的路徑長.
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【題目】(14分)如圖1,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,點B在線段AE上,點C在線段AD上.
(1)請直接寫出線段BE與線段CD的關系: ;
(2)如圖2,將圖1中的△ABC繞點A順時針旋轉角α(0<α<360°),
①(1)中的結論是否成立?若成立,請利用圖2證明;若不成立,請說明理由;
②當AC=ED時,探究在△ABC旋轉的過程中,是否存在這樣的角α,使以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出角α的度數;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,點A是⊙O上一點,OA⊥AB,且OA=1,AB=,OB交⊙O于點D,作AC⊥OB,垂足為M,并交⊙O于點C,連接BC.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)過點B作BP⊥OB,交OA的延長線于點P,連接PD,求sin∠BPD的值.
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【題目】如圖,正方形ABCD內部有若干個點,則用這些點以及正方形ABCD的頂點A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形(互相不重疊):
(1)填寫下表:
正方形ABCD內點的個數 | 1 | 2 | 3 | 4 | ... | n |
分割成三角形的個數 | 4 | 6 | _____ | _____ | ... | _____ |
(2)原正方形能否被分割成2021個三角形?若能,求此時正方形ABCD內部有多少個點?若不能,請說明理由.
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【題目】某學校為了豐富學生課余生活,提高學生綜合素質,開展了“綜合實踐活動課”,具體課程如下:A.數學史話;B.詩歌賞析:C.英語口語演講;D.生物與生活,學校規(guī)定:每個學生都必須報名且只能選擇其中的一個課程,學校隨機抽查了部分學生,對他們選擇的課程情況進行了統(tǒng)計,并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請結合統(tǒng)計圖中的信息,解決下列問題:
(1)這次學校抽查的學生人數是 ;課程B對應的扇形的圓心角是 度;
(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)如果該校共有1200名學生,請你估計該校報D的學生約有多少人?
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=45°,AB=4,點P為線段AB上一動點(不與點A重合),過點P作PE⊥AB交射線AD于點E,沿PE將△APE折疊,點A的對稱點為點F,連接EF,DF,CF,當△CDF為等腰三角形時,AP的長為________.
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【題目】如圖,已知A、B兩點的坐標分別為(8,0),(0,8),點C、F分別是直線x=﹣5和x軸上的動點,CF=10,點D是線段CF的中點,連接AD交y軸于點E,則△ABE面積的最大值為_____.
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【題目】已知:如圖,一次函數y=x+1的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B;二次函數y=x2+bx+c的圖象與一次函數y=x+1的圖象交于B、C兩點,與x軸交于D、E兩點且D點坐標為(1,0)
(1)求二次函數的解析式;
(2)求四邊形BDEC的面積S;
(3)在x軸上有一動點P,從O點出發(fā)以每秒1個單位的速度沿x軸向右運動,是否存在點P使得△PBC是以P為直角頂點的直角三角形?若存在,求出點P運動的時間t的值,若不存在,請說明理由.
(4)若動點P在x軸上,動點Q在射線AC上,同時從A點出發(fā),點P沿x軸正方向以每秒2個單位的速度運動,點Q以每秒a個單位的速度沿射線AC運動,是否存在以A、P、Q為頂點的三角形與△ABD相似,若存在,求a的值,若不存在,說明理由.
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