Question

【題目】如圖所示，點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥DC于點(diǎn)F，連接AP并延長(zhǎng)，交射線BC于點(diǎn)H，交射線DC于點(diǎn)M，連接EF交AH于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)P在BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不包括B、D兩點(diǎn)），以下結(jié)論中：①MF＝MC；②AP＝EF；③AH⊥EF；④AP2＝PMPH；⑤EF的最小值是．其中正確結(jié)論有（ ）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

由點(diǎn)P為BD中點(diǎn)時(shí)，MC=0≠M(fèi)F，可得①錯(cuò)誤；連接PC，交EF于O，由點(diǎn)P在BD上，可得AP=PC，根據(jù)PF⊥CD，PE⊥BC，∠BCF=90°可得四邊形PECF是矩形，可得EF=PC，即判斷②正確；利用SSS可證明△APD≌△CPD，可得∠DAP=∠DCP，由矩形的性質(zhì)可得∠OCF=∠OFC，即可證明∠DAP=∠OFC，可得∠DAP+∠AMD=∠OFC+∠AMD=90°，即可判斷③正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DAP=∠H，可得∠DCP=∠H，由∠HPC是公共角可證明△CPM∽△HPC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)PC=AP即可判斷④正確，當(dāng)PC⊥BD時(shí)PC的值最小，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出PC的最小值為，根據(jù)EF=PC即可判斷⑤正確；綜上即可得答案.

當(dāng)點(diǎn)P為BD中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，MC=0≠M(fèi)F，故①錯(cuò)誤，

連接PC，交EF于O，

∵點(diǎn)P在BD上，BD為正方形ABCD的對(duì)角線，

∴AP=PC，

∵PF⊥CD，PE⊥BC，∠BCF=90°，

∴四邊形PECF是矩形，

∴EF=PC，

∴AP=EF，故②正確，

∵AD=CD，AP=PC，PD=PD，

∴△APD≌△CPD，

∴∠DAP=∠DCP，

∵四邊形PECF是矩形，

∴∠OCF=∠OFC，

∴∠DAP=∠OFC，

∴∠DAP+∠AMD=∠OFC+∠AMD=90°，

∴∠FGM=90°，即AH⊥EF，故③正確，

∵AD//BH，

∴∠DAP=∠H，

∵∠DAP=∠DCP，

∴∠MCP=∠H，

∵∠CPH為公共角，

∴△CPM∽△HPC，

∴，

∵AP=PC，

∴AP2= PMPH，故④正確，

當(dāng)PC⊥BD時(shí)，PC有最小值，PC=BD=，

∵PC=EF

∴EF的最小值為，故⑤正確，

綜上所述：正確的結(jié)論有②③④⑤，共4個(gè)，

故選C.