Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點(diǎn)，并經(jīng)過B點(diǎn)，已知A點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（8，6）．

（1）求二次函數(shù)的解析式．

（2）求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及D點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）該二次函數(shù)的對稱軸交x軸于C點(diǎn)．連接BC，并延長BC交拋物線于E點(diǎn)，連接BD，DE，求△BDE的面積．

（4）拋物線上有一個動點(diǎn)P，與A，D兩點(diǎn)構(gòu)成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在．請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）二次函數(shù)解析式為：y=x2﹣4x+6；

（2）函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，0）；

（3）△BDE的面積為7.5．

（4）存在，P1（4+，），P2（4﹣，），P3（3，﹣），P4（5，﹣）．

【解析】

試題（1）利用待定系數(shù)法求出b，c即可求出二次函數(shù)解析式；

（2）把二次函數(shù)式轉(zhuǎn)化可直接求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，由A對稱關(guān)系可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）由待定系數(shù)法可求出BC所在的直線解析式，與拋物線組成方程求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用△BDE的面積=△CDB的面積+△CDE的面積求出△BDE的面積；

（4）設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，由S△ADP=S△BCD求出h的值，根據(jù)h的正，負(fù)值求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象過A（2，0），B（8，6）

∴，解得

∴二次函數(shù)解析式為：y=x2﹣4x+6；

（2）由y=x2﹣4x+6，得y=（x﹣4）2﹣2，

∴函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣2），

∵點(diǎn)A，D是y=x2+bx+c與x軸的兩個交點(diǎn)，

又∵點(diǎn)A（2，0），對稱軸為x=4，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，0）；

（3）∵二次函數(shù)的對稱軸交x軸于C點(diǎn)．

∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）

∵B（8，6），

設(shè)BC所在的直線解析式為y=kx+b，

∴解得

∴BC所在的直線解析式為y=x﹣6，

∵E點(diǎn)是y=x﹣6與y=x2﹣4x+6的交點(diǎn)，

∴x﹣6=x2﹣4x+6

解得x1=3，x2=8（舍去），

當(dāng)x=3時，y=﹣3，

∴E（3，﹣），

∴△BDE的面積=△CDB的面積+△CDE的面積=×2×6+×2×=7.5．

（4）存在，

設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，

∵S△BCD=×2×6=6，S△ADP=×4×h=2h，

∵S△ADP=S△BCD

∴2h=6×，解得h=，

當(dāng)P在x軸上方時，

=x2﹣4x+6，解得x1=4+，x2=4﹣，

當(dāng)當(dāng)P在x軸下方時，

﹣=x2﹣4x+6，解得x1=3，x2=5，

∴P1（4+，），P2（4﹣，），P3（3，﹣），P4（5，﹣）．