【題目】◆探索發(fā)現(xiàn):如圖是一種網(wǎng)紅彈弓的實(shí)物圖,在兩頭上系上皮筋,拉動(dòng)皮筋可形成平面示意圖如圖1、圖2,彈弓的兩邊可看成是平行的,即.各活動(dòng)小組探索,之間的數(shù)量關(guān)系.已知,點(diǎn)不在直線和直線上.在圖1中,智慧小組發(fā)現(xiàn):;

智慧小組是這樣思考的:過點(diǎn),……

請(qǐng)你按照智慧小組作的輔助線補(bǔ)全推理過程.

◆類比思考:①在圖2中,,之間的數(shù)量關(guān)系為________

②如圖3,已知,則角、、之間的數(shù)量關(guān)系為________

◆解決問題:善思小組提出:如圖4,圖5,分別平分,

①在圖4中,之間的關(guān)系為________

②在圖5中,之間的關(guān)系為________

【答案】探索發(fā)現(xiàn):見解析;類比思考:①;②;解決問題:①;②

【解析】

探索:發(fā)現(xiàn)由平行線的性質(zhì)得出∠APQ=A,由PQAB,ABCD,推出PQCD,得出∠APQ=C,推出∠APQ+CPQ=A+C,即可得出結(jié)論;
類比思考①過點(diǎn)PPQAB,延長(zhǎng)BAM,延長(zhǎng)DCN,由平行線的性質(zhì)得出∠APQ=PAM,由PQABABCD,推出PQCD,得出∠APQ=PCN,則∠APQ+CPQ+PAB+PCD=360°,即可得出結(jié)果;
②過點(diǎn)MMQAB,由平行線的性質(zhì)得出α+QMA=180°,由MQAB,ABCD,推出MQCD,得出∠QMD=γ,即可得出結(jié)果;
解決問題①過點(diǎn)PPQAB,過點(diǎn)FFMAB,由平行線的性質(zhì)得出∠APQ=BAP,∠AFM=BAF,由角平分線的性質(zhì)得出∠BAF=PAF,即∠AFM=BAP,由PQAB,FMAB,ABCD,推出PQCD,FMCD,得出∠CPQ=DCP,∠CFM=DCF,由角平分線的性質(zhì)得出∠DCF=PCF,即∠CFM=DCP,推出∠APC=BAP+DCP,∠AFC=(∠BAP+DCP),即可得出結(jié)果;
②過點(diǎn)PPHAB,過點(diǎn)FFQAB,延長(zhǎng)BAM,延長(zhǎng)DCN,由平行線的性質(zhì)得出∠APH=MAP,∠AFQ=BAF,由角平分線的性質(zhì)得出∠BAF=PAF,即2AFQ=BAP,由PHAB,FQABABCD,推出PHCD,FQCD,得出∠CPH=NCP,∠CFQ=DCF,由角平分線的性質(zhì)得出∠DCF=PCF,即2CFQ=DCP,由∠BAP+MAP=180°,∠DCP+NCP=180°,得出2AFQ+APH=180°,2CFQ+CPH=180°,即可得出結(jié)果.

探索發(fā)現(xiàn):

類比思考:①∠APC+A+C=360°;理由如下:
過點(diǎn)PPQAB,延長(zhǎng)BAM,延長(zhǎng)DCN,如圖2所示:


∴∠APQ=PAM,
PQAB,ABCD,
PQCD
∴∠APQ=PCN,
∴∠APQ+CPQ+PAB+PCD=180°+180°=360°,
∴∠APC+A+C=360°,
故答案為:∠APC+A+C=360°;


α+β-γ=180°;理由如下:
過點(diǎn)MMQAB,如圖3所示:
α+QMA=180°,
MQAB,ABCD,
MQCD
∴∠QMD=γ,
∵∠QMA+QMD=β
α+β-γ=180°,
故答案為:α+β-γ=180°


解決問題:①∠AFC=APC;理由如下:
過點(diǎn)PPQAB,過點(diǎn)FFMAB,如圖4所示:
∴∠APQ=BAP,∠AFM=BAF,
AF平分∠BAP,
∴∠BAF=PAF
∴∠AFM=BAP,
PQAB,FMAB,ABCD
PQCD,FMCD,
∴∠CPQ=DCP,∠CFM=DCF,
CF平分∠DCP
∴∠DCF=PCF,
∴∠CFM=DCP
∴∠APC=BAP+DCP,∠AFC=BAP+DCP=(∠BAP+DCP),
∴∠AFC=APC
故答案為:∠AFC=APC;


②∠AFC=180°-APC;理由如下:
過點(diǎn)PPHAB,過點(diǎn)FFQAB,延長(zhǎng)BAM,延長(zhǎng)DCN,如圖5所示:
∴∠APH=MAP,∠AFQ=BAF,
AF平分∠BAP,
∴∠BAF=PAF,
2AFQ=BAP,
PHAB,FQABABCD,
PHCDFQCD,
∴∠CPH=NCP,∠CFQ=DCF,
CF平分∠DCP,
∴∠DCF=PCF
2CFQ=DCP,
∵∠BAP+MAP=180°,∠DCP+NCP=180°,
2AFQ+APH=180°2CFQ+CPH=180°,
2AFQ+APH+2CFQ+CPH=360°
2AFC+APC=360°
∴∠AFC=180°-APC,
故答案為:∠AFC=180°-APC

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)此次抽樣檢查中,共調(diào)查了  名學(xué)生家長(zhǎng);

2)將圖1補(bǔ)充完整;

3)根據(jù)抽樣檢查的結(jié)果,請(qǐng)你估計(jì)該市城區(qū)6000名中學(xué)生家長(zhǎng)中有多少名家長(zhǎng)持反對(duì)態(tài)度?

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【題目】完成下面的證明:

如圖,已知,,可推得

理由如下:∵(已知),

(等量代換)

________________

∴∠________

又∵(已知)

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1)請(qǐng)你分別表示出這兩個(gè)圖形中陰影部分的面積

2)比較兩圖的陰影部分面積,可以得到乘法公式 (用字母表示)

(應(yīng)用)請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)公式完成下列各題

①已知,則的值為

②計(jì)算:

(拓展)①結(jié)果的個(gè)位數(shù)字為

②計(jì)算:

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【題目】某校開展了讓世界充滿愛的捐款助學(xué)活動(dòng),其中八(2)班全體同學(xué)的捐款情況如下表:

捐款金額()

5

10

15

20

50

捐款人數(shù)()

7

18

12

3

由于填表的同學(xué)不小心把墨水滴在了表上,致使表中數(shù)據(jù)不完整,但知道捐款金額為10元的人數(shù)為全班人數(shù)的36%,結(jié)合上表回答下列問題:

(1)(2)班共有多少人?

(2)學(xué)生捐款金額的眾數(shù)和中位數(shù)分別為多少元?

(3)如果把該班學(xué)生的捐款情況繪制成扇形統(tǒng)計(jì)圖,則捐款金額為20元的人數(shù)所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角為多少度?

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初步探究:(1)直接寫出結(jié)果:

2)下列關(guān)于除方的說法中,錯(cuò)誤的是

A.任何非零數(shù)的圈次方都等于

B.對(duì)于任何正整數(shù)的圈次方等于

C

D.負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方的結(jié)果是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方的結(jié)果是正數(shù)

深入思考:我們知道,有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算,除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算,有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢?

3)試一試,把下列除方運(yùn)算直接寫成冪的形式

4)想一想,請(qǐng)把有理數(shù)的圈次方寫成冪的形式.

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【題目】重百沃爾瑪兩家超市出售同樣的保溫壺和水杯,保溫壺和水杯在兩家超市的售價(jià)分別一樣.已知買1個(gè)保溫壺和1個(gè)水杯要花費(fèi)60元,買2個(gè)保溫壺和3個(gè)水杯要花費(fèi)130元.

1)請(qǐng)問:一個(gè)保溫壺與一個(gè)水杯售價(jià)各是多少元;(列方程組求解)

2)為了迎接五一勞動(dòng)節(jié),兩家超市都在搞促銷活動(dòng),重百超市規(guī)定:這兩種商品都打九折;沃爾瑪超市規(guī)定:買一個(gè)保溫壺贈(zèng)送一個(gè)水杯.若某單位想要買4個(gè)保溫壺和15個(gè)水杯,如果只能在一家超市購(gòu)買,請(qǐng)問選擇哪家超市購(gòu)買更合算,請(qǐng)說明理由.

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