【題目】如圖,二次函數(shù)的圖像與軸相交于點A(-1,0),B(4,0),與軸相交于點C.
(1)求該函數(shù)的表達式;
(2)若點P(2,m)為該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上一點,過點P作PQ⊥BC,垂足為點Q,連接PC,求線段PQ的長;
(3)在(2)的條件下,點M為該函數(shù)圖象上一點,且∠MAP=45°,求點M的坐標(biāo).
【答案】(1);(2);(3)(4,0).
【解析】
(1)把點A、B代入二次函數(shù)的解析式,求出a、b的值,即可得到答案;
(2)作PN⊥x軸與N,交BC于點G,先求出點P和點C,然后得到直線BC的解析式,從而得到點N和點G的坐標(biāo),得到PG的長度,然后利用△PQG∽△BOC,即可求出PQ的長度;
(3)連接AP,則得到△APN是等腰直角三角形,則∠PAN=45°,則點M與點B重合,即可得到點M的坐標(biāo).
解:(1)根據(jù)題意,把點A、B代入拋物線,得
,
解得:,
∴二次函數(shù)的解析式為:;
(2)如圖,作PN⊥x軸與N,交BC于點G,
∵點P(2,m)在拋物線上,則
,
令x=0,則y=2,
∴點P為(2,3),點C為(0,2),點N為(2,0),
設(shè)直線BC為,則
,解得:,
∴直線BC的解析式為:;
令,,
∴點G的坐標(biāo)為:(2,1),
∴PG=2,
∵OC∥PN,PQ⊥BC,
∴∠OCB=∠PGQ,∠BOC=∠PQG=90°,
∴△PQG∽△BOC,
∴,
∵BO=4,PG=2,,
∴;
(3)如圖,連接AP,
由(2)可知,點P為(2,3),點N為(2,0),點A為(-1,0),
∴AN=PN=3,
∵PN⊥AN,
∴△APN是等腰直角三角形,
∴∠PAN=45°,
∵點M在拋物線上,且∠MAP=45°,
∴點M與點B重合,此時點M的坐標(biāo)為(4,0);
∴點M的坐標(biāo)為:(4,0).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0。
(1)求證:方程恒有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)若此方程的一個根是1,請求出方程的另一個根,并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,C為半圓弧上一點,在AC上取一點D,使BC=CD,連結(jié)BD并延長交⊙O于E,連結(jié)AE,OE交AC于F.
(1)求證:△AED是等腰直角三角形;
(2)如圖1,已知⊙O的半徑為.
①求的長;
②若D為EB中點,求BC的長.
(3)如圖2,若AF:FD=7:3,且BC=4,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是等邊三角形,點在邊上(點與點不重合) ,過點作交于點,連結(jié),分別為的中點,連結(jié).
(1)求證:
(2)的大小是 .
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【題目】請閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù).
在數(shù)學(xué)中,當(dāng)問題的條件不夠時間,常添加輔助線構(gòu)成新圖形,形成新關(guān)系,建立已知與未知的橋梁,從而把原問題轉(zhuǎn)化為易于解決的問題.在著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)教波利亞所著的《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中有這樣一個例子:試作一個三角形,使它的三邊長分別是各條中線長的三分之一,解決這個問題的步驟如下:
第一步,如圖1,己知的三條中線,和相交于點,則有.
下面是該結(jié)論的部分證明過程:
證明:如圖1,過點作的平分線,交的延長線于點,則.
又,
∴.
∴.
∵點是的中點,
∴.
……
第二步,同理可以證明:.
第三步,如圖2,取BM的中點,連接.則的三邊長分別是各條中線長的三分之一.
任務(wù):(1)請在上面第一步中證明過程的基礎(chǔ)上完成對結(jié)論的證明;
(2)請完成第三步的結(jié)論的證明;
(3)請直接寫出圖2中與的面積比:_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的函數(shù)y=+x,如表是y與x的幾組對應(yīng)值:
x | … | ﹣4 | ﹣3 | -2 | - | -1 | - | - | 1 | 2 | 3 | 4 | … | |||
y | … | - | - | - | - | -2 | - | - | 2 | … |
如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點,根據(jù)描出的點畫出了此函數(shù)的圖象請你根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,根據(jù)畫出的函數(shù)圖象特征,對該函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行探究:
(1)該函數(shù)的圖象關(guān)于 對稱;
(2)在y軸右側(cè),函數(shù)變化規(guī)律是當(dāng)0<x<1,y隨x的增大而減;當(dāng)x>1,y隨x的增大而增大.在y軸左側(cè),函數(shù)變化規(guī)律是 .
(3)函數(shù)y=當(dāng)x 時,y有最 值為 .
(4)若方程+x=m有兩個不相等的實數(shù)根,則m的取值范圍是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點A,B,C在⊙O上,AB∥OC.
(1)求證:∠ACB+∠BOC=90°;
(2)若⊙O的半徑為5,AC=8,求BC的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線交軸于點和點,交軸于點.已知點的坐標(biāo)為,點為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點,連接、、.
(1)求這個拋物線的表達式.
(2)當(dāng)四邊形面積等于4時,求點的坐標(biāo).
(3)①點在平面內(nèi),當(dāng)是以為斜邊的等腰直角三角形時,直接寫出滿足條件的所有點的坐標(biāo);
②在①的條件下,點在拋物線對稱軸上,當(dāng)時,直接寫出滿足條件的所有點的坐標(biāo).
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