Question

已知：如圖，在直徑為10的⊙O中，作兩條互相垂直的直徑AE和BF，在弧EF上取點C，弦AC交BF于P，弦CB交AE于Q，求證：四邊形APQB的面積等于25．

Answer 1

分析：連接AF、FE、EB，設(shè)AC與EF交于點D，連接DB、DQ、CE，由于AE、BF是⊙O的直徑，AE⊥BF，根據(jù)對角線互相垂直平分且相等的四邊形為正方形得到四邊形ABEF是正方形，則S_△ABF=

1

2

S_{正方形ABEF}=

1

2

×

1

2

×10×10=25，根據(jù)圓周角定理得到∠DCQ=

1

2

∠AOB=45°，而∠DEQ=45°，則∠DCQ=∠DEQ，根據(jù)四點共圓的判定方法得D、C、E、Q在同一個圓上；又AE是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠ACE=90°，再利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠DQE=180°-∠ACE=90°，則DQ⊥AE，易得FB∥DQ，
則S_△PBQ=S_△PBD，于是可得S_{四邊形APQB}=S_△APB+S_△QPB=S_△PAB+S_△DPB=S_△DAB=S_△FAB=25．

解答：證明：連接AF、FE、EB，設(shè)AC與EF交于點D，連接DB、DQ、CE，如圖，
∵AE、BF是⊙O的直徑，AE⊥BF，
∴四邊形ABEF是正方形，
∴S_△ABF=

1

2

S_{正方形ABEF}=

1

2

×

1

2

×10×10=25，
又∵∠DCQ=

1

2

∠AOB=45°，
而∠DEQ=45°，
∴∠DCQ=∠DEQ，
∴D、C、E、Q在同一個圓上，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ACE=90°，
∴∠DQE=180°-∠ACE=90°，
∴DQ⊥AE，
而AE⊥BF，
∴FB∥DQ，
∴S_△PBQ=S_△PBD，
∴S_{四邊形APQB}=S_△APB+S_△QPB=S_△PAB+S_△DPB=S_△DAB=S_△FAB=25．

點評：本題考查了圓的綜合題：在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角的度數(shù)是它所對的圓心角的度數(shù)的一半；直徑所對的圓周角為直角；掌握四點共圓的判定方法和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；運用正方形的判定與性質(zhì)以及同底等高的三角形的面積相等進行幾何計算．