【題目】如圖，點(diǎn)O為直線AB外一定點(diǎn)，點(diǎn)P線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，在直線OP右側(cè)作Rt△OPQ，使得∠OPQ=30°，已知AB=3，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是________．

【答案】

【解析】

首先根據(jù)題意可知所有的Rt△OPQ都是相似的，從而得出點(diǎn)Q實(shí)質(zhì)就是在一條豎直的直線上運(yùn)動(dòng)，據(jù)此我們假設(shè)點(diǎn)O在點(diǎn)A的正上方，且設(shè)點(diǎn)O（0，3），點(diǎn)A（0，0），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)P（xp，0），其中0≤xp≤3，通過(guò)待定系數(shù)法求出直線OP的解析式為：，由此得出直線OQ的解析式為：，據(jù)此利用特殊角的三角函數(shù)值得出，最后在此基礎(chǔ)上作進(jìn)一步分析即可.

由題意得：所有的Rt△OPQ都是相似的，

∴點(diǎn)Q實(shí)質(zhì)就是在一條豎直的直線上運(yùn)動(dòng)，

∴假設(shè)點(diǎn)O在點(diǎn)A的正上方，再設(shè)點(diǎn)O（0，3），點(diǎn)A（0，0），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)P（xp，0），其中0≤xp≤3，

∴設(shè)直線OP的解析式為：，

則，

∴，

∴直線OP的解析式為：，

∵OP⊥OQ，

∴直線OQ的解析式為：，

∴點(diǎn)Q（xQ，），

∴(tan30°)2=，

∴

∴xQ=，yQ=，

又∵0≤xp≤3，

∴3≤yQ≤3+，

∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)度為，

故答案為：．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為線段BO上一點(diǎn)，連接CE，將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CF，連接EF交CD于點(diǎn)G．

（1）若AB＝4，BE＝，求△CEF的面積．

（2）如圖2，線段FE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥CD于點(diǎn)M，求證：BH+MG＝BE；

（3）如圖3，點(diǎn)E為射線OD上一點(diǎn)，線段FE的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)G，交直線AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)F作FM垂直直線CD于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BH、MG、BE的數(shù)量關(guān)系．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】閱讀下列材料：

材料一：最大公約數(shù)是指兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)共有的約數(shù)中最大的一個(gè)．我們將兩個(gè)整數(shù)a、b的最大公約數(shù)表示為(a，b)，如(12，18)=6；(7，9)=1．

材料二：求7x+3y=11的一組整數(shù)解，主要分為三個(gè)步驟：

第一步，用x表示y，得y；

第二步，找一個(gè)整數(shù)x，使得11﹣7x是3的倍數(shù)，為更容易找到這樣的x，將11﹣7x變形為12﹣9x+2x﹣1=3(4﹣3x)+2x﹣1，即只需2x﹣1是3的倍數(shù)即可，為此可取x=2；

第三步，將x=2代入y，得y=﹣1．∴是原方程的一組整數(shù)解．

材料三：若關(guān)于x，y的二元一次方程ax+by=c(a，b，c均為整數(shù))有整數(shù)解，則它的所有整數(shù)解為(t為整數(shù))．

利用以上材料，解決下列問(wèn)題：

（1）求方程(15，20)x+(4，8)y=99的一組整數(shù)解；

（2）求方程(15，20)x+(4，8)y=99有幾組正整數(shù)解．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小紅在斜坡下的點(diǎn)C處測(cè)得樓頂B的仰角為60°，在斜坡上的點(diǎn)D處測(cè)得樓頂B的仰角為45°，其中點(diǎn)A、C、E在同一直線上．

（1）求斜坡CD的高度DE；

（2）求大樓AB的高度（結(jié)果保留根號(hào)）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，馬邊水務(wù)部門(mén)為加強(qiáng)馬邊河防汛工作，決定對(duì)某水電站水庫(kù)進(jìn)行加固．原大壩的橫斷面是梯形ABCD，如圖所示，已知迎水面AB的長(zhǎng)為10米，∠B=60°，背水面DC的長(zhǎng)度為10米，加固后大壩的橫斷面為梯形ABED．若CE的長(zhǎng)為4米．

（1）已知需加固的大壩長(zhǎng)為120米，求需要填方多少立方米；

（2）求新大壩背水面DE的坡度．（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】定義：兩直角邊比為1：2的直角三角形叫做和合三角形．

（1）如圖1，△ABC中，∠C= ，AC=3，BC=4，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，說(shuō)明△ACD是和合三角形；

（2）如圖2，和合△ABC中，∠C= ，AC= ，點(diǎn)D是邊AB中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，在直線DE下方構(gòu)造矩形DEFG，使直線FG始終經(jīng)過(guò)BC中點(diǎn)M，已知△ABC面積為4，求矩形DEFG的面積；

（3）如圖3，扇形OAB中，∠AOB= ，OA=2．以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA，OB所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P是 一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=3上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△OPQ是和合三角形時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.圖象位于二、四象限

B.當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小

C.點(diǎn)在函數(shù)圖象上

D.當(dāng)時(shí)，

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知拋物線與x軸的交點(diǎn)為A、D(A在D的右側(cè))，與y軸的交點(diǎn)為C．

（1）直接寫(xiě)出A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)M在拋物線上，使得△MAD的面積與△CAD的面積相等，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形．

探究發(fā)現(xiàn)

（1）△BCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請(qǐng)說(shuō)明理由．

拓展運(yùn)用

（2）若B、C、E三點(diǎn)不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的長(zhǎng)．

（3）若B、C、E三點(diǎn)在一條直線上（如圖2），且△ABC和△DCE的邊長(zhǎng)分別為1和2，求△ACD的面積及AD的長(zhǎng)．

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同步練習(xí)冊(cè)答案