【題目】在平面內(nèi),C為線段AB外的一點,若以A,BC為頂點的三角形為直角三角形,則稱C為線段AB的直角點. 特別地,當該三角形為等腰直角三角形時,稱C為線段AB的等腰直角點.

1)如圖1,在平面直角坐標系xOy中,點M的坐標為,在點P1,P2P3中,線段OM的直角點是 ;

2)在平面直角坐標系xOy中,點A,B的坐標分別為,,直線l的解析式為

①如圖2,C是直線l上的一個動點,若C是線段AB的直角點,求點C的坐標;

②如圖3,P是直線l上的一個動點,將所有線段AP的等腰直角點稱為直線l關(guān)于點A的伴隨點.若⊙O的半徑為r,且⊙O上恰有兩個點為直線l關(guān)于點A的伴隨點,直接寫出r的取值范圍.

【答案】1P1, P3;

2)①點C的坐標為;②

【解析】

根據(jù)直角點的定義判定即可.

(2)① ∠BAC=90°時,可設(shè)點C的坐標為(a,b).

因為點A的坐標已知 ,點C在直線 上,可解得點C的坐標.

已知點B坐標同理可解點C坐標.

AB的中點M,作CHAB于點H,連接CM.

求出M坐標,算得CM長,在直角三角形CHM中利用勾股定理求得點C坐標.

關(guān)于r的取值范圍根據(jù)圖直接寫出即可.

解:(1)根據(jù)直角點的定義線段OM的直角點為 P1, P3 ;

2)① 當∠BAC=90°時,設(shè)點C的坐標為(a,b.

∵點A的坐標為,點C在直線,

b=4,,解得a=3.

∴點C的坐標為.

當∠ABC=90°時,設(shè)點C的坐標為(a,b.

∵點B的坐標為,點C在直線,

b=,解得a=13.

∴點C的坐標為.

當∠ACB=90°時如圖,設(shè)點C的坐標為(a, b.

AB的中點M,作CHAB于點H,連接CM.

C在直線上,

. *

∵點AB的坐標分別為,,

M的坐標為CM=5,.

由勾股定理得方程 . **

由(*),(**)得,故C的坐標為.

綜上,點C的坐標為.

②如圖AP與x軸平行時伴2、伴3共圓,r=

當O、A、P三點共線時伴3、伴4共圓r=O伴3=

直接寫出r的取值范圍是:

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