【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn):
如圖1,在等邊三角形ABC中,點M為BC邊上異于B、C的一點,以AM為邊作等邊三角形AMN,連接CN,NC與AB的位置關(guān)系為__________;
(2)深入探究:
如圖2,在等腰三角形ABC中,BA=BC,點M為BC邊上異于B、C的一點,以AM為邊作等腰三角形AMN,使∠ABC=∠AMN,AM=MN,連接CN,試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)拓展延伸:
如圖3,在正方形ADBC中,AD=AC,點M為BC邊上異于B、C的一點,以AM為邊作正方形AMEF,點N為正方形AMEF的中點,連接CN,若BC=10,CN=,試求EF的長.
【答案】(1)NC∥AB(2)∠ABC=∠ACN,理由見解析;(3)EF= .
【解析】分析:(1)根據(jù)△ABC,△AMN為等邊三角形,得到AB=AC,AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°從而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM,即∠BAM=∠CAN,證明△BAM≌△CAN,即可得到BM=CN.
(2)根據(jù)△ABC,△AMN為等腰三角形,得到AB:BC=1:1且∠ABC=∠AMN,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠MAN,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(3)如圖3,連接AB,AN,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=45°,∠MAN=45°,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出,得到BM=2,CM=8,再根據(jù)勾股定理即可得到答案.
詳解:(1)NC∥AB,理由如下:
∵△ABC與△MN是等邊三角形,
∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
在△ABM與△ACN中,
,
∴△ABM≌△ACN(SAS),
∴∠B=∠ACN=60°,
∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°,
∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°,
∴CN∥AB;
(2)∠ABC=∠ACN,理由如下:
∵=1且∠ABC=∠AMN,
∴△ABC~△AMN
∴,
∵AB=BC,
∴∠BAC=(180°﹣∠ABC),
∵AM=MN
∴∠MAN=(180°﹣∠AMN),
∵∠ABC=∠AMN,
∴∠BAC=∠MAN,
∴∠BAM=∠CAN,
∴△ABM~△ACN,
∴∠ABC=∠ACN;
(3)如圖3,連接AB,AN,
∵四邊形ADBC,AMEF為正方形,
∴∠ABC=∠BAC=45°,∠MAN=45°,
∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC
即∠BAM=∠CAN,
∵,
∴,
∴△ABM~△ACN
∴,
∴=cos45°=,
∴,
∴BM=2,
∴CM=BC﹣BM=8,
在Rt△AMC,
AM=,
∴EF=AM=2.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知O是直線AB上一點,∠AOC=45°36’,OD平分∠BOC,求∠AOD的度數(shù).完成下列推理過程:
解:由題意可知,∠AOB是平角,
∠AOB= +∠BOC
因為∠AOC=45°36′
所以∠BOC= ° ′
又因為OD平分∠BOC
∴∠COD=∠BOC= ° ′
∴∠AOD=∠ +∠ = ° ′
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1所示,在A,B兩地之間有汽車站C站,客車由A地駛往C站,貨車由B地駛往A地。兩車同時出發(fā),勻速行駛。圖2是客車、貨車離C站的路程y ,y (千米)與行駛時間x(小時)之間的函數(shù)關(guān)系圖象。
(1)填空:A,B兩地相距___千米;貨車的速度是___千米/時。
(2)求兩小時后,貨車離C站的路程y 與行駛時間x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(3)客、貨兩車何時距離不大于30km?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在一張長為a、寬為b的長方形紙片上,剪掉一個大圓和兩個半徑相等的小圓.
(1)列出剩余紙片(圖中陰影部分)面積的代數(shù)式;(結(jié)果要求化簡)
(2)當(dāng)a=6cm,b=4cm時,求陰影部分的面積,(π取3.14)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AD=BF,∠ACD=90°,AE平分∠BAC,BF⊥AE,交AC的延長線于F,且垂足為E,則下列結(jié)論:①AD=2BF; ②BF=AF;③AC+CD=AB;④AB=BF;⑤AD=2BE.其中正確的結(jié)論有( )
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形OABC中,點O為原點,邊OA的長度為8,對角線AC=10,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A、C,與AB交于點D.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點P為線段BC上一個動點(不與點C重合),點Q為線段AC上一個動點,AQ=CP,連接PQ,設(shè)CP=m,△CPQ的面積為S.
①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式并求出S最大時的m值;
②在S最大的情況下,在拋物線y=x2+bx+c的對稱軸上,若存在點F,使△DFQ為直角三角形,請直接寫出所有符合條件的點F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料并填空
(1)探究:平面上有n個點(n>2)且任意3個點不在同一條直線上,經(jīng)過每兩個點畫一條直線,一共能畫多少條直線? 根據(jù)基本事實,我們知道兩點確定一條直線,平面上有2個點時,可以畫條直線,平面內(nèi)有3個不在同一直線上點時,可畫條直線,那么平面上有4個不在同一直線上的點時,可以畫 條, 平面上有5個不在同一直線上的點時,可以畫 條,以此類推,平面上有n個不在同一直線上的點時,可以畫 條
(2)運用:某足球比賽中有10個球隊進行單循環(huán)比賽(每兩隊之間必須比賽一場),一共進行多少場比賽?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,,的垂直平分線交于點,若,則下列結(jié)論正確是______(填序號)① ②是的平分線 ③是等腰三角形 ④的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,點分別在邊,,上,且,.下列四個判斷中,不正確的是( 。
A. 四邊形是平行四邊形
B. 如果,那么四邊形是矩形
C. 如果平分平分∠BAC,那么四邊形 AEDF 是菱形
D. 如果AD⊥BC 且 AB=AC,那么四邊形 AEDF 是正方形
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